《2025年夺冠百分百新导学课时练九年级数学下册人教版》

7. 如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F.
（1）求证：△ABE∽△DFA.
（2）若AB = 6，BC = 4，求DF的长.

答案：
(1)证明：
∵四边形$ABCD$是矩形，
∴$AD// BC$，$\angle B = 90^{\circ}$，
∴$\angle DAF=\angle AEB$。
∵$DF\perp AE$，
∴$\angle AFD=\angle B = 90^{\circ}$，
∴$\triangle ABE\sim\triangle DFA$。
(2)解：
∵$E$是$BC$的中点，$BC = 4$，
∴$BE = 2$。
∵$AB = 6$，
∴$AE=\sqrt{AB^{2}+BE^{2}}=\sqrt{6^{2}+2^{2}}=2\sqrt{10}$。
∵四边形$ABCD$是矩形，
∴$AD = BC = 4$。
∵$\triangle ABE\sim\triangle DFA$，
∴$\frac{AB}{DF}=\frac{AE}{DA}$，
∴$DF=\frac{AB\cdot DA}{AE}=\frac{6\times4}{2\sqrt{10}}=\frac{6}{5}\sqrt{10}$。

8. 如图，某人拿着一把分度值为厘米的刻度尺，站在距电线杆25 m的地方，手臂向前伸直，将刻度尺竖直，看到刻度尺上14 cm的长度恰好遮住电线杆. 已知臂长为70 cm，则电线杆的高是（ ）

A. 5 m
B. 6 m
C. 125 m
D. 4 m

答案： A

9.（数学文化）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是________步.

答案： $\frac{60}{17}$

10. 如图是一个铁夹子的侧面示意图，点C是连接夹面的轴上一点，CD⊥OA于点D. 这个侧面图是轴对称图形，直线OC是它的对称轴. 已知DA = 15 mm，DO = 24 mm，DC = 10 mm. 求点A与点B之间的距离.

答案：
解：如图，连接$AB$交直线$OC$于点$E$。
∵这个侧面图是轴对称图形，
∴$AB\perp OC$，$AE = BE$。
∵$CD\perp OA$，
∴$OC=\sqrt{OD^{2}+CD^{2}}=\sqrt{24^{2}+10^{2}}=26(mm)$。
∵$\angle AOE=\angle COD$，
$\angle OEA=\angle ODC = 90^{\circ}$，

∴$\triangle OEA\sim\triangle ODC$，
∴$\frac{AE}{CD}=\frac{OA}{OC}$，
即$\frac{AE}{10}=\frac{39}{26}$，
∴$AE = 15(mm)$，
∴$AB = 2AE = 30(mm)$。

11. 如图，△A'B'C'是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A'B'C'的面积与△ABC的面积比是9：16，则OB'：OB为（ ）

A. 3：4
B. 4：3
C. 7：9
D. 9：16

答案： A

12. 在平面直角坐标系中，点P（m，n）是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍，则点P的对应点的坐标为（ ）
A.（2m，2n）
B.（2m，2n）或（－2m，－2n）
C. ($\frac{1}{2}$m,$\frac{1}{2}$n)
D. ($\frac{1}{2}$m,$\frac{1}{2}$n)或(－$\frac{1}{2}$m,－$\frac{1}{2}$n)

答案： B

13. 在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（4，2），以原点O为位似中心，把△OAB按相似比$\frac{1}{2}$缩小，则点B的对应点B'的坐标是____________.

答案： $(2,1)$或$(-2,-1)$