《2025年夺冠百分百新导学课时练九年级数学下册人教版》

5. (上海普陀区二模)如图，在四边形$ABCD$中，$AB// CD$，点$E$在边$AD$上，$CE$与$BA$的延长线交于点$F$，$\frac{FA}{AB}=\frac{AE}{ED}$.
(1)求证：四边形$ABCD$为平行四边形.
(2)连接$FD$，分别延长$FD$，$BC$交于点$G$，如果$FC^{2}=FD\cdot FG$，求证：$AD\cdot CG=BF\cdot CD$.

答案：
证明：
(1)
∵AB//CD，点F在BA的延长线上，
∴FA//CD，
∴△AEF∽△DEC，
∴$\frac{FA}{CD}=\frac{AE}{DE}$.
∵$\frac{FA}{AB}=\frac{AE}{ED}$，
∴$\frac{FA}{AB}=\frac{FA}{CD}$，
∴AB = CD，
∴四边形ABCD为平行四边形.
(2)如图，连接FD，分别延长FD，BC交于点G，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC = AD.
∵FC² = FD·FG，
∴$\frac{FC}{FD}=\frac{FG}{FC}$.
∵∠CFG = ∠DFC，
∴△CFG∽△DFC，
∴∠G = ∠FCD.
∵∠BFC = ∠FCD，
∴∠G = ∠BFC.
∵∠GCD = ∠B，
∴△GCD∽△FBC，
∴$\frac{CG}{BF}=\frac{CD}{BC}$，
∴$\frac{CG}{BF}=\frac{CD}{AD}$，
∴AD·CG = BF·CD.

6. 如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$CD$是斜边$AB$上的高.
(1)求证：$\triangle ADC\backsim\triangle ACB$.
(2)若$AC = 4$，$BC = 3$，求$AD$的长.

答案：
(1)证明：
∵CD⊥AB，
∴∠ADC = ∠ACB = 90°.
∵∠A = ∠A，
∴△ADC∽△ACB.
(2)解：在Rt△ABC中，AC = 4，BC = 3，
∴AB = $\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}$ = 5.
∵△ADC∽△ACB，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$，
即$\frac{AD}{4}=\frac{4}{5}$.
∴AD = $\frac{16}{5}$.

7. 如图，在$\triangle ABC$中，$D$，$E$分别是$AB$，$AC$上的点，$\angle AED=\angle B$，$\triangle ABC$的角平分线$AF$交$DE$于点$G$，交$BC$于点$F$.
(1)求证：$\triangle AED\backsim\triangle ABC$.
(2)若$\frac{AD}{AC}=\frac{2}{3}$，求$\frac{AG}{AF}$的值.

答案：
(1)证明：
∵∠AED = ∠B，∠BAC = ∠EAD，
∴△AED∽△ABC.
(2)解：
∵△AED∽△ABC，
∴∠ADE = ∠C.
∵AF平分∠BAC，
∴∠DAG = ∠CAF，
∴△ADG∽△ACF，
∴$\frac{AG}{AF}=\frac{AD}{AC}=\frac{2}{3}$.

8. 如图，在正方形$ABCD$中，$E$，$F$分别是边$AD$，$CD$上的点，$AE = ED$，$DF=\frac{1}{4}DC$，连接$EF$并延长交$BC$的延长线于点$G$.
(1)求证：$\triangle ABE\backsim\triangle DEF$.
(2)若正方形的边长为$4$，求$FG$的长.

答案：
(1)证明：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD = AB = DC = BC，∠A = ∠D = 90°.
∵AE = ED，
∴$\frac{AE}{AB}=\frac{1}{2}$.
∵DF = $\frac{1}{4}$DC，
∴$\frac{DF}{DE}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AE}{AB}=\frac{DF}{DE}$，
∴△ABE∽△DEF.
(2)解：
∵四边形ABCD为正方形，
∴ED//BG，
∴△DEF∽△CGF，
∴$\frac{ED}{GC}=\frac{DF}{CF}$.
又
∵DF = $\frac{1}{4}$DC，正方形的边长为4，
∴DF = 1，ED = 2，
∴CF = 3，CG = 6，
∴GF = $\sqrt{CF^{2}+CG^{2}}$ = $\sqrt{9 + 36}$ = 3$\sqrt{5}$.