《2025年夺冠百分百新导学课时练九年级数学下册人教版》

1. 如图，$CD = 2BC$，$ED = 2AC$，$BC// DE$，点$A$，$C$，$D$在同一条直线上.
求证：$\triangle ABC\backsim\triangle ECD$.

答案： 证明：
∵BC//DE，
∴∠ACB = ∠CDE.
∵CD = 2BC，ED = 2AC，
∴BC : CD = AC : ED = 1 : 2.
∴△ABC∽△ECD.

2. (烟台福山区期末)如图，四边形$ABCD$为菱形，点$E$在$AC$的延长线上，$\angle ACD=\angle ABE$.
(1)求证：$\triangle ABC\backsim\triangle AEB$.
(2)当$AE = 18$，$AC = 8$时，求$AB$的长.

答案：
(1)证明：
∵四边形ABCD为菱形，
∴∠ACD = ∠BCA.
∵∠ACD = ∠ABE，
∴∠BCA = ∠ABE.
∵∠BAC = ∠EAB，
∴△ABC∽△AEB.
(2)解：
∵△ABC∽△AEB，
∴$\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AB}$.
∵AE = 18，AC = 8，
∴$\frac{AB}{18}=\frac{8}{AB}$，
∴AB² = 144，
∴AB = 12.

3. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，点$D$，$E$分别在$BC$，$AB$上，且$\angle BDE=\angle CAD$. 求证：$\triangle ADE\backsim\triangle ABD$.

答案： 证明：
∵AB = AC，
∴∠B = ∠C.
∵∠ADB = ∠C + ∠CAD = ∠BDE + ∠ADE，∠BDE = ∠CAD，
∴∠ADE = ∠C，
∴∠B = ∠ADE.
∵∠DAE = ∠BAD，
∴△ADE∽△ABD.

4. 如图，在四边形$ABCD$中，$AC$平分$\angle DAB$，$\angle ADC=\angle ACB = 90^{\circ}$，$E$为$AB$的中点，求证：
(1)$AC^{2}=AB\cdot AD$.
(2)$\triangle AFD\backsim\triangle CFE$.

答案： 证明：
(1)
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC = ∠CAB.
∵∠ADC = ∠ACB = 90°，
∴△ADC∽△ACB，
∴AD : AC = AC : AB，
∴AC² = AB·AD.
(2)
∵E为AB的中点，
∴CE = BE = AE，
∴∠EAC = ∠ECA.
∵∠DAC = ∠CAB，
∴∠DAC = ∠ECA，
∴CE//AD，
∴△AFD∽△CFE.