《2025年夺冠百分百新导学课时练九年级数学下册人教版》

8.（保定曲阳期中）如图，D是AC上一点，DE//AB，∠B = ∠DAE.
（1）求证：△ABC∽△DAE.
（2）若AB = 8，AD = 6，AE = 12，求BC的长.

答案：
(1)证明:
∵DE//AB,
∴∠EDA=∠CAB.
∵∠B=∠DAE,
∴△ABC∽△DAE.
(2)解:
∵△ABC∽△DAE,
∴$\frac{AB}{DA}=\frac{BC}{AE}$,即$\frac{8}{6}=\frac{BC}{12}$,
∴BC=16.

9. 如图，四边形ABDC是圆内接四边形，DC与BA的延长线交于点P，对角线AD与BC交于点O，则图中共有相似三角形（ ）

A. 2组
B. 3组
C. 4组
D. 5组

答案： C

10. 如图，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B，C的一定点，过点M作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有（ ）

A. 1条
B. 2条
C. 3条
D. 4条

答案： C

11.（唐山遵化期中）如图，在四边形ABCD中，∠ADB = ∠ACB，延长AD，BC相交于点E. 求证：
（1）△ACE∽△BDE.
（2）BE·DC = AB·DE.

答案： 证明:
(1)
∵∠ADB=∠ACB,
　
∴∠BDE=∠ACE.
　　又
∵∠E=∠E,
　
∴△ACE∽△BDE.
(2)
∵△ACE∽△BDE,
　
∴$\frac{BE}{AE}=\frac{DE}{CE}$.
　
∴$\frac{BE}{DE}=\frac{AE}{CE}$.
　　又
∵∠E=∠E,
∴△ECD∽△EAB.
　
∴$\frac{BE}{DE}=\frac{AB}{CD}$.
　
∴BE·DC=AB·DE.

12.（保定清苑区期中）如图，在□ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE = ∠B.
（1）求证：△ADF∽△DEC.
（2）若AB = 4，AD = 3$\sqrt{3}$，AE = 3，求AF的长.

答案：
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形，
　
∴AB//CD,AD//BC.
　
∴∠B+∠C=180°,∠ADF=∠DEC.
　
∵∠AFD+∠AFE=180°,∠AFE=∠B,
∴∠AFD=∠C.
∴△ADF∽△DEC.
(2)解:
∵AE⊥BC,AD//BC,
∴∠DAE=∠AEB=90°.
∴在Rt△DAE中,
DE=$\sqrt{AD^{2}+AE^{2}}=\sqrt{(3\sqrt{3})^{2}+3^{2}} = 6$.
由
(1),知△ADF∽△DEC,得$\frac{AF}{DC}=\frac{AD}{DE}$,
∴AF=$\frac{DC·AD}{DE}=\frac{4×3\sqrt{3}}{6}=2\sqrt{3}$.