《2025年夺冠百分百新导学课时练九年级数学下册人教版》

7.（邯郸期中）如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，∠ADE = 60°，若AD = 4，$\frac{BD}{CE}=\frac{3}{2}$，则DE的长度为（ ）
A. 1 B. $\frac{4}{3}$ C. 2 D. $\frac{8}{3}$
　　　　　　　

答案： D

8. 如图，在Rt△ABC中，已知∠BAC = 90°，AB = AC = 2，点D在BC上运动（不能到达点B，C），过点D作∠ADE = 45°，DE交AC于点E.
（1）求证：△ABD∽△DCE.
（2）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长.
　　　　　　　　　　　

答案：
（1）证明：在Rt△ABC中，∠BAC = 90°，AB = AC，
∴∠B = ∠C = 45°.
∵∠ADC = ∠B + ∠BAD，∠ADC = ∠ADE + ∠EDC，
∴∠ADE + ∠EDC = ∠B + ∠BAD.
又
∵∠ADE = 45°，
∴45° + ∠EDC = 45° + ∠BAD，
∴∠EDC = ∠BAD，
∴△ABD∽△DCE.
（2）解：
∵∠BAC = 90°，AB = AC = 2，
∴$BC=\sqrt{AB^{2}+AC^{2}} = 2\sqrt{2}$.
分三种情况讨论：
①当AD = AE时，∠DAE = 90°，此时点D与点B重合，不合题意；
②当AD = DE时，△ABD与△DCE的相似比为1，此时△ABD≌△DCE，则CD = AB = 2，EC = BD = BC - CD = $2\sqrt{2}-2$，AE = AC - EC = 2 - ($2\sqrt{2}-2$) = $4 - 2\sqrt{2}$；
③如图，当AE = DE时，
∠DAE = ∠ADE = 45°，

∴AD⊥BC，DE⊥AC，且AD = DC.
∴$AE = CE=\frac{1}{2}AC = 1$.
综上，可得AE = $4 - 2\sqrt{2}$或1.

9.（新概念题）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.
（1）如图1，在△ABC中，CD为角平分线，∠A = 40°，∠B = 60°，求证：CD为△ABC的完美分割线.
（2）如图2，在△ABC中，AC = 2，BC = $\sqrt{2}$，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形. 求完美分割线CD的长.
　　 　　　

答案： （1）证明：
∵∠A = 40°，∠B = 60°，
∴∠ACB = 80°.
∴△ABC不是等腰三角形.
∵CD平分∠ACB，
∴$∠ACD = ∠BCD=\frac{1}{2}∠ACB = 40°$.
∴∠ACD = ∠A = 40°.
∴△ACD为等腰三角形.
∵∠DCB = ∠A = 40°，∠CBD = ∠ABC，
∴△BCD∽△BAC.
∴CD为△ABC的完美分割线.
（2）解：由题意，得AC = AD = 2，设BD = x，则AB = x + 2.
∵△BCD∽△BAC，
∴$\frac{BC}{BA}=\frac{BD}{BC}$，即$\frac{\sqrt{2}}{x + 2}=\frac{x}{\sqrt{2}}$.
∴x(x + 2) = 2.
解得$x_{1}=\sqrt{3}-1$，$x_{2}=-\sqrt{3}-1$（不合题意，舍去）.
∴$BD=\sqrt{3}-1$.
∵△BCD∽△BAC，
∴$\frac{CD}{AC}=\frac{BD}{BC}=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}$，
∴$CD=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}\times2=\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)=\sqrt{6}-\sqrt{2}$.