《2025年夺冠百分百新导学课时练九年级数学下册人教版》

8.已知矩形ABCD的一条边AD = 8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的点P处.
(1)求证：△OCP∽△PDA.
(2)若△OCP与△PDA的面积比为1∶4，求边AB的长.

答案：
(1)证明:
∵在矩形ABCD中，AB = CD，BC = AD = 8，∠B = ∠C = ∠D = 90°，
　由折叠知，∠APO = ∠B = 90°，
∴∠APD + ∠OPC = 90°.
∵∠APD + ∠PAD = 90°，
∴∠PAD = ∠OPC，
∴△OCP∽△PDA.
(2)解:设OC = x，则OP = OB = 8 - x，
　由
(1)知，△OCP∽△PDA，
∴$\frac{S_{△OCP}}{S_{△PDA}}=(\frac{OC}{PD})^2=(\frac{PC}{AD})^2=\frac{1}{4}$
∴$\frac{OC}{PD}=\frac{PC}{AD}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{x}{PD}=\frac{PC}{8}=\frac{1}{2}$，
∴PC = 4，PD = 2x.
∵OC² + PC² = OP²，
∴x² + 4² = (8 - x)²，解得x = 3，
∴PD = 6，
∴CD = PD + PC = 10，
∴AB = 10.

9.(石家庄正定期中)如图，在□ABCD中，AC，BD相交于点O，E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知S_{△AEF}= 4，则下列结论：①$\frac{AF}{FD}=\frac{1}{2}$；②S_{△BCE}= 36；③S_{△ABE}= 12；④△AEF∽△ACD.其中一定正确的是( )

A.①②③④
B.①④
C.②③④
D.①②③

答案： D

10.(河北中考)如图，△ABC的面积为2，AD为BC边上的中线，点A，C₁，C₂，C₃是线段CC₄的五等分点，点A，D₁，D₂是线段DD₃的四等分点，点A是线段BB₁的中点.
(1)△AC₁D₁的面积为________.
(2)△B₁C₄D₃的面积为________.

答案：
(1)1　
(2)7

11.(拓展探究题)现有一块直角三角形木板，它的两条直角边长分别为3 m和4 m.要把它加工成面积最大的正方形桌面，甲、乙二人加工方法分别如图1和图2所示.请运用所学知识说明谁的加工方法符合要求.

答案：
解:甲加工的方法符合要求.
　设图1加工的桌面长为xm.
∵FD//BC，
∴∠AFD = ∠C，∠ADF = ∠B，
∴Rt△AFD∽Rt△ACB，
∴AF:AC = FD:BC，
　即(4 - x):4 = x:3，解得x = $\frac{12}{7}$.
　设题图2加工桌面长为ym，过点C作CM⊥AB，垂足是M，与GF相交于点N，如图.
∵GF//DE，
∴△CGF∽△CAB，
∴CN:CM = GF:AB，
∴(CM - y):CM = y:AB.
∵S_{△ABC}=$\frac{1}{2}$AC·BC = $\frac{1}{2}$AB·CM，
∴CM = $\frac{AC·BC}{AB}=\frac{4×3}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}=\frac{12}{5}$.
　故此可求得y = $\frac{60}{37}$.
∵x＞y，故x²＞y²，
∴甲的加工方法符合要求.