《2025年夺冠百分百新导学课时练九年级数学下册人教版》

6.（陷阱题）在Rt△ABC中，若2AB = AC，则cos C = ______。

答案： $\frac{\sqrt{3}}{2}$或$\frac{2\sqrt{5}}{5}$

7.（唐山玉田期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若AD = 6，tan C = $\frac{3}{2}$，BC = 12.
（1）求DC边的长。
（2）求cos B的值。

答案： 解：
(1)在$Rt\triangle ADC$中，$\tan C=\frac{AD}{CD}=\frac{3}{2}$，$AD = 6$，
$\therefore DC=\frac{6}{\frac{3}{2}} = 4$.
(2)在$Rt\triangle ABD$中，$BD = BC - CD = 12 - 4 = 8$，
$AB=\sqrt{BD^{2}+AD^{2}}=\sqrt{8^{2}+6^{2}} = 10$，
$\therefore \cos B=\frac{BD}{AB}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$.

8.（石家庄辛集期末）已知抛物线y = -x² - 2x + 3与x轴交于A，B两点，将这条抛物线的顶点记为C，连接AC，则tan∠CAB的值为（ ）
A. $\frac{1}{2}$ B. $\frac{\sqrt{5}}{5}$
C. $\frac{2\sqrt{5}}{5}$ D. 2

答案： D

9.（张家口宣化区期中）如图，在矩形ABCD中，E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是______。

答案： $\frac{\sqrt{2}}{4}$

10.（阅读理解题）如图，在直角三角形中，由锐角三角函数的定义我们容易得到以下结论：
$\frac{\sin A}{\cos A}=\tan A$，tan A·tan B = 1.
（1）证明以上结论。
（2）结论应用：
①已知∠A为锐角，且tan A = 4，求$\frac{5\cos A + 2\sin A}{3\cos A - \sin A}$的值。
②试求出tan 1°·tan 2°·tan 88°·tan 89°的值。

答案：
(1)证明：由三角函数的定义，得$\sin A=\frac{a}{c}$，$\cos A=\frac{b}{c}$，$\tan A=\frac{a}{b}$，$\tan B=\frac{b}{a}$，
$\therefore \frac{\sin A}{\cos A}=\frac{a}{c}\cdot\frac{c}{b}=\frac{a}{b}=\tan A$；$\tan A\cdot\tan B=\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{a}=1$.
(2)解：①由$\frac{\sin A}{\cos A}=\tan A = 4$，得$\sin A = 4\cos A$，
$\therefore \frac{5\cos A + 2\sin A}{3\cos A - \sin A}=\frac{5\cos A + 2\times4\cos A}{3\cos A - 4\cos A}=-13$.
②原式$=(\tan1^{\circ}\cdot\tan89^{\circ})\cdot(\tan2^{\circ}\cdot\tan88^{\circ}) = 1$.