《2025年夺冠百分百新导学课时练九年级数学下册人教版》

9. (广州中考)如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE = 3，EC = 6，CF = 2.求证：△ABE∽△ECF.

答案： 证明：$\because BE = 3$，$EC = 6$，$CF = 2$，$\therefore BC = 3 + 6 = 9$.
$\because$四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore AB = BC = 9$，$\angle B=\angle C = 90^{\circ}$.
$\because\frac{AB}{EC}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$，$\frac{BE}{CF}=\frac{3}{2}$，$\therefore\frac{AB}{EC}=\frac{BE}{CF}$，
$\therefore\triangle ABE\sim\triangle ECF$.

10. 如图，在3×4的方格纸上，每个方格的边长为1个单位长度，△ABC的顶点都在方格的格点位置.若点D在格点位置(与点A不重合)，且使△DBC与△ABC相似，则符合条件的点D共有________个.

答案： 4

11. (张家口宣化区期中)如图，在△ABC中，∠C = 90°，BC = 16 cm，AC = 12 cm，点P从点B出发，沿BC以2 cm/s的速度向点C移动，点Q从点C出发，以1 cm/s的速度向点A移动，若点P，Q分别从点B，C同时出发，设运动时间为t s，当t = ______时，△CPQ与△CBA相似.

答案： $\frac{24}{5}$或$\frac{64}{11}$

12. (变式探究题)如图1，在钝角三角形ABC中，点D在边AB上，点E在边BC上，且DE//AC，易得△BDE∽△BAC.
(1)母题变式：将图1中△BDE绕点B逆时针旋转α度(0＜α＜180)得到图2，连接AD，CE.求证：△BDA∽△BEC.
(2)类比探究：如图3，在△OAB和△OCD中，∠AOB = ∠COD = 90°，∠OAB = ∠OCD = 30°，连接AC交BD的延长线于点M，求$\frac{AC}{BD}$的值.

答案：
(1)证明：由题图1可得$\triangle BDE\sim\triangle BAC$，
所以$\frac{BD}{BA}=\frac{BE}{BC}$，即$\frac{BD}{BE}=\frac{BA}{BC}$.
在题图2中，因为$\angle DBE=\angle ABC$，
所以$\angle DBA=\angle EBC$，所以$\triangle BDA\sim\triangle BEC$.
(2)解：在$Rt\triangle AOB$中，$\angle OAB = 30^{\circ}$，
所以$AB = 2OB$. 根据勾股定理，可得$OA=\sqrt{3}OB$，
所以$\frac{OA}{OB}=\sqrt{3}$，
在$Rt\triangle COD$中，同理可得$\frac{OC}{OD}=\sqrt{3}$.
所以$\frac{OA}{OB}=\frac{OC}{OD}$.
因为$\angle AOB=\angle COD = 90^{\circ}$，
所以$\angle COD+\angle AOD=\angle AOB+\angle AOD$，
即$\angle AOC=\angle BOD$，
所以$\triangle AOC\sim\triangle BOD$，所以$\frac{AC}{BD}=\frac{OC}{OD}=\sqrt{3}$.