《2025年夺冠百分百新导学课时练九年级数学下册人教版》

8. 如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，AC = BC = 4，将△ABC折叠，使点A落在BC边上的点D处，EF为折痕。若AE = 3，则sin∠BFD的值为（ ）
　
A. $\frac{1}{3}$
B. $\frac{2\sqrt{2}}{3}$
C. $\frac{\sqrt{2}}{4}$
D. $\frac{3}{5}$

答案： A

9. 如图，AD，BE分别是△ABC中BC，AC边上的高，BE = 4，BC = 6，则sin∠DAC = ______。
　　　

答案： $\frac{\sqrt{5}}{3}$

10. 如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于点E，设∠ADE = α，且sin α = $\frac{4}{5}$，AB = 4，则AD的长为______。
　　　　　　　　　　　　　

答案： $\frac{16}{3}$

11. 如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC = 14，AD = 12，sin B = $\frac{4}{5}$，求：
(1)线段DC的长。
(2)sin∠EDC的值。
　　　　　　　　　　　　　

答案： 解:
(1)在 $\text{Rt}\triangle BDA$ 中,$\angle BDA = 90^{\circ}$,$AD = 12$,
$\sin B=\frac{AD}{AB}=\frac{4}{5}$,
$\therefore AB = 15$.
$\therefore BD=\sqrt{AB^{2}-AD^{2}}=\sqrt{15^{2}-12^{2}} = 9$.
$\therefore DC = BC - BD = 14 - 9 = 5$.
(2)$\because E$ 是 $\text{Rt}\triangle ADC$ 斜边 $AC$ 的中点,
$\therefore ED = EC$.
$\therefore \angle EDC=\angle C$.
在 $\text{Rt}\triangle ADC$ 中,$AD = 12$,$DC = 5$,
$\therefore AC=\sqrt{AD^{2}+DC^{2}} = 13$.
$\therefore \sin\angle EDC=\sin C=\frac{AD}{AC}=\frac{12}{13}$.

12. (1)【拓展探究】在Rt△ABC中，∠C = 90°，根据正弦的定义求sin²A + sin²B的值[注：sin²A = (sin A)²]。
(2)【创新应用】已知在Rt△ABC中，∠C = 90°。
①若sin A = $\frac{1}{3}$，求sin B的值。
②若方程25x² - mx + 12 = 0的两根是△ABC两锐角的正弦值，求m的值。

答案： 解:
(1)设 $\angle A$,$\angle B$,$\angle C$ 的对边分别为 $a$,$b$,$c$.
由正弦的定义可得
$\sin^{2}A+\sin^{2}B=\frac{a^{2}}{c^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}}=\frac{a^{2}+b^{2}}{c^{2}} = 1$.
(2)① 由
(1)可知,$\sin B=\sqrt{1-\sin^{2}A}=\sqrt{1 - (\frac{1}{3})^{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$.
②由根与系数的关系可知,
$\sin A+\sin B=\frac{m}{25}$,$\sin A\sin B=\frac{12}{25}$,
$\sin^{2}A+\sin^{2}B=(\sin A+\sin B)^{2}-2\sin A\sin B = 1$,
$\therefore (\frac{m}{25})^{2}-2\times\frac{12}{25}=1$,解得 $m=\pm35$.
又 $\because \sin A+\sin B＞0$,$\therefore m = 35$.