《2025年夺冠百分百新导学课时练九年级数学下册人教版》

7. (唐山滦南期末)某校“综合与实践”小组采用无人机辅助的方法测量一座桥的长度. 如图，桥AB是水平并且笔直的，测量过程中，小组成员遥控无人机飞到桥AB的上方120 m的点C处悬停，此时测得桥两端A，B两点的俯角分别为60°和45°，求桥AB的长度.

答案：
解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D,

由题意，得∠MCA = ∠A = 60°，∠NCB = ∠B = 45°，CD = 120，
在Rt△ACD中，AD = $\frac{CD}{tan 60°}$ = $\frac{120}{\sqrt{3}}$ = 40$\sqrt{3}$(m)，
在Rt△BCD中，
∵∠CBD = 45°，
∴BD = CD = 120 m，
∴AB = AD + BD = (40$\sqrt{3}$ + 120)m.
答：桥AB的长度为(40$\sqrt{3}$ + 120)m.

8. 无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测. 如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为135 m的A处测得试验田右侧边界N处俯角为43°，无人机垂直下降40 m至B处，又测得试验田左侧边界M处俯角为35°，则M，N之间的距离为( )(参考数据：$\tan 43^{\circ}\approx0.9$，$\sin 43^{\circ}\approx0.7$，$\cos 35^{\circ}\approx0.8$，$\tan 35^{\circ}\approx0.7$，结果保留整数)

A. 188 m
B. 269 m
C. 286 m
D. 312 m

答案： C

9. (学科融合·物理)(福建中考)无动力帆船是借助风力前行的. 如图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角∠PDA为70°，帆与航行方向的夹角∠PDQ为30°，风对帆的作用力F为400 N. 根据物理知识，F可以分解为两个力F1与F2，其中与帆平行的力F1不起作用，与帆垂直的力F2又可以分解为两个力f1与f2，f1与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；f2与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力. 在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型：F = AD = 400，则f2 = CD = ________. (单位：N)(参考数据：$\sin 40^{\circ}\approx0.64$，$\cos 40^{\circ}\approx0.77$)

答案： 128

10. (河北中考)中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣. 某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离BQ = 4 m，仰角为α；淇淇向前走了3 m后到达点D，透过点P恰好看到月亮，仰角为β，如图是示意图. 已知，淇淇的眼睛与水平地面BQ的距离AB = CD = 1.6 m，点P到BQ的距离PQ = 2.6 m，AC的延长线交PQ于点E. (注：图中所有点均在同一平面)
(1)求β的大小及tanα的值.
(2)求CP的长及sin∠APC的值.

答案：
解：
(1)由题意可得PQ⊥AE，PQ = 2.6 m，AB = CD = EQ = 1.6 m，AE = BQ = 4 m，AC = BD = 3 m，
∴CE = 4 - 3 = 1(m)，PE = 2.6 - 1.6 = 1(m)，∠CEP = 90°，
∴CE = PE，
∴β = ∠PCE = 45°，
tanα = tan∠PAE = $\frac{PE}{AE}$ = $\frac{1}{4}$.
(2)
∵CE = PE = 1 m，∠CEP = 90°，
∴CP = $\sqrt{1^{2}+1^{2}}$ = $\sqrt{2}$(m).
如图，过点C作CH⊥AP于点H，

∵tanα = tan∠PAE = $\frac{CH}{AH}$ = $\frac{1}{4}$，设CH = x m，
则AH = 4x m，
∴x² + (4x)² = AC² = 9，
∴x = $\frac{3\sqrt{17}}{17}$，
∴CH = $\frac{3\sqrt{17}}{17}$ m，
∴sin∠APC = $\frac{CH}{CP}$ = $\frac{\frac{3\sqrt{17}}{17}}{\sqrt{2}}$ = $\frac{3\sqrt{34}}{34}$.