《2025年夺冠百分百新导学课时练九年级数学下册人教版》

小专题集训一 反比例函数中k的几何意义
解题指导

结论：$S_{矩形ABCO}=2S_{\triangle ABO}=|k|$.
(1)如图，在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象中任取一点B，过点B向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形ABCO的面积是定值$|k|$.
(2)如图，过反比例函数的图象上任意一点B向坐标轴作垂线，点B和垂足以及坐标原点所构成的$\triangle ABO$(或$\triangle BCO$)的面积是$\frac{1}{2}|k|$，且保持不变.
类型一 同一象限内运用k的几何意义

答案：

1.(无锡锡山区校级二模)已知反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象如图所示，若矩形OABC的面积为3，则k的值是( )
A.3 B.－3 C.6 D.－6
　　　

答案： B

2.(牡丹江中考)如图，等边三角形OAB，点B在x轴正半轴上，$S_{\triangle OAB}=4\sqrt{3}$，若反比例函数$y=\frac{k}{x}(k\neq0)$图象的一支经过点A，则k的值是( )
A.$\frac{3\sqrt{3}}{2}$ B.$2\sqrt{3}$
C.$\frac{3\sqrt{3}}{4}$ D.$4\sqrt{3}$
　　　

答案： D

3.如图，点A，B在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象上，$AC\perp x$轴于点C，$BD\perp x$轴于点D，$BE\perp y$轴于点E，连接AE.若$OE=1$，$OC=\frac{2}{3}OD$，$AC=AE$，则k的值为( )
A.2 B.$\frac{3\sqrt{2}}{2}$ C.$\frac{9}{4}$ D.$2\sqrt{2}$
　　　　　　　　

答案： B

4.如图，点A，B在反比例函数$y=\frac{12}{x}$的图象上，A，B的纵坐标分别是3和6，连接OA，OB，则$\triangle OAB$的面积是________.
　　　　　　　　

答案： 9

5.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OC，OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$分别与边AB，边BC相交于点E，F，且点E，F分别为AB，BC边的中点，连接EF.若$\triangle BEF$的面积为3，求k的值.
　　　　　　　　　　　　　　　　

答案： 解:
∵四边形OCBA是矩形，
∴AB=OC,OA=BC.
　设点B的坐标为(a,b)，
∵E,F分别为AB,BC边的中点，
∴E($\frac{1}{2}a$，b)，F(a，$\frac{1}{2}b$).
∵E,F在反比例函数的图象上，
∴$\frac{1}{2}$ab=k.
∵S_{△BEF}=3,
∴$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$a·$\frac{1}{2}$b=3,
　即$\frac{1}{8}$ab=3,
∴ab=24,
∴k=$\frac{1}{2}$ab=12.