《2025年夺冠百分百新导学课时练九年级数学下册人教版》

6. 如图，已知$AB// CD$，$AE// DF$，AE，FD分别交BC于点G，H，则图中相似三角形共有______对.

答案： 6

7. 如图，延长正方形ABCD的一边CB至点E，ED与AB相交于点F，过F作$FG// BE$交AE于点G，求证：$BF = GF$.

答案： 证明：$\because$四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore BF// CD$，$AD// BC$，$\therefore \frac{BF}{CD}=\frac{EF}{ED}$.
$\because FG// BE$，$\therefore FG// AD$，
$\therefore \frac{GF}{AD}=\frac{EF}{ED}$，$\therefore \frac{BF}{CD}=\frac{GF}{AD}$.
又$\because CD = AD$，$\therefore BF = GF$.

8. 如图，已知$l_1// l_2// l_3$，且$AB = 2BC$，$DF = 5\ cm$，$AG = 4\ cm$，求GF，AF，EF的长.

答案： 解：$\because l_1// l_2// l_3$，$AB = 2BC$，
$\therefore \frac{AB}{BC}=\frac{AG}{GF}=\frac{DE}{EF}=2$，$\therefore GF=\frac{AG}{2}=\frac{4}{2}=2(\text{cm})$，$DE = 2EF$，
$\therefore AF = AG + GF = 4 + 2 = 6(\text{cm})$，$DF = DE + EF = 2EF + EF = 3EF = 5(\text{cm})$，
$\therefore EF=\frac{5}{3}\text{ cm}$.
即$GF = 2\text{ cm}$，$AF = 6\text{ cm}$，$EF=\frac{5}{3}\text{ cm}$.

9.（石家庄正定期中）如图，$AB// GH// CD$，点H在BC上，AC与BD交于点G，$AB = 2$，$CD = 3$，则$GH =$______.

答案： $\frac{6}{5}$

10. 在□ABCD中，E是BA延长线上一点，CE与AD，BD交于点G，F. 求证：$CF^{2}=GF\cdot EF$.

答案： 证明：$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AD// BC$，$AB// CD$，
$\therefore \frac{GF}{CF}=\frac{DF}{BF}$，$\frac{CF}{EF}=\frac{DF}{BF}$，$\therefore \frac{GF}{CF}=\frac{CF}{EF}$，
即$CF^2 = GF\cdot EF$.

11.（从特殊到一般）如图，AD是△ABC的中线，点E在AC上，BE交AD于点F. 某数学兴趣小组在研究这个图形时得到如下问题，请你帮助解决：
(1)当$\frac{AF}{AD}=\frac{1}{3}$时，求$\frac{AE}{AC}$的值.
(2)猜想当$\frac{AF}{AD}=\frac{1}{n + 1}$时，$\frac{AE}{AC}$的值为多少？并说明理由.

答案：
解：
(1)$\frac{AE}{AC}=\frac{1}{5}$.
(2)$\frac{AE}{AC}=\frac{1}{2n + 1}$. 理由如下：
如图，过点$D$作$DG// BE$，交$AC$于点$G$，则$\frac{AE}{AG}=\frac{AF}{AD}=\frac{1}{n + 1}$.
$\therefore AE:EG = 1:n$，即$EG = nAE$.
$\because AD$是$\triangle ABC$的中线，$\therefore D$是$BC$的中点.
又$\because DG// BE$，$\therefore G$是$EC$的中点，
$\therefore CG = EG = nAE$.
$\therefore AC = AE + EG + CG=(2n + 1)AE$.
$\therefore \frac{AE}{AC}=\frac{1}{2n + 1}$.