《2025年夺冠百分百新导学课时练九年级数学下册人教版》

第1课时 正弦
A 知识梳理·自主学习

在Rt△ABC中，∠C = 90°，我们把锐角A的对边与______的比叫做∠A的正弦，记作sin A，即sin A = ______ = $\frac{a}{c}$。

答案： 斜边 $\frac{\angle A \text{ 的对边}}{\text{斜边}}$

1. 如图，已知锐角α的始边在x轴的正半轴上（顶点在原点），终边上一点P的坐标为(3，2)，则sin α =（ ）
　　　　　　　
A. $\frac{2\sqrt{13}}{13}$
B. $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
C. $\frac{2}{3}$
D. $\frac{\sqrt{7}}{3}$

答案： A

2. 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，若AC = 12，BC = 5，求sin A，sin B的值。
　　　　　　　　　　　　

答案： 解:在 $\text{Rt}\triangle ABC$ 中,$\angle C = 90^{\circ}$,
$\because AC = 12$,$BC = 5$,
$\therefore AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}} = 13$,
$\therefore \sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{5}{13}$,$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{12}{13}$.

3. 在△ABC中，∠C = 90°，AC = 9，sin B = $\frac{3}{5}$，则BC = ______。

答案： 12

4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AB = 10，CD⊥AB于点D，若sin∠ACD = $\frac{4}{5}$，求BC的长。
　　　　　　　　　　　

答案： 解:$\because \angle ACB = 90^{\circ}$,$CD\perp AB$,
$\therefore \angle BCD+\angle B = 90^{\circ}$,$\angle BCD+\angle ACD = 90^{\circ}$,
$\therefore \angle ACD=\angle B$,$\therefore \sin B=\sin\angle ACD=\frac{4}{5}$.
在 $\text{Rt}\triangle ABC$ 中,$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{4}{5}$,$AB = 10$,
$\therefore AC = 8$,
$\therefore BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}} = 6$.