《2025年夺冠百分百新导学课时练九年级数学下册人教版》

1.（“A”型）如图，已知在□ABCD中，EF//AD，DE∶EB = 2∶3，EF = 6，那么BC的长为______。
　　　　　　　　　　　　

答案： 10

2.（反“A”型）如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的高，连接DE.
求证：△DCE∽△ACB.

答案： 证明：
∵在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的高，
∴∠ADC = ∠BEC = 90°.
∵∠C是公共角，
∴△CDA∽△CEB，
∴$\frac{CD}{CE}=\frac{CA}{CB}$，
∴$\frac{CD}{CA}=\frac{CE}{CB}$.
∵∠C是公共角，
∴△DCE∽△ACB.

3.（反“X”型）如图，在△ABC中，AE交BC于点D，∠C = ∠E，AD = 4，BC = 8，BD∶DC = 5∶3，则DE的长等于（ ）
A. $\frac{20}{3}$ B. $\frac{15}{4}$ C. $\frac{16}{3}$ D. $\frac{17}{4}$
　　　　　　　　　　　　　　

答案： B

4.（“X”型）如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连接BD并延长与CE交于点E. 求证：△ABD∽△CED.
　

答案： 证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC = ∠ACB = 60°，∠ACF = 120°.
∵CE是外角平分线，
∴∠ACE = 60°.
∴∠BAC = ∠ACE.
∵∠ADB = ∠CDE，
∴△ABD∽△CED.

5.（旋转型）如图，已知∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，那么△ABD与△ACE相似吗？为什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　

答案： 解：△ABD与△ACE相似. 理由如下：
∵∠1 = ∠2，
∴∠1 + ∠DAC = ∠DAC + ∠2，
即∠BAC = ∠DAE.
又
∵∠3 = ∠4，
∴△ABC∽△ADE.
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，得$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$，
又
∵∠1 = ∠2，
∴△ABD∽△ACE.

6.（“母子”型）如图，已知AB = AC，BC = BD.
求证：CB² = CD·CA.
　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案： 证明：
∵AB = AC，
∴∠ABC = ∠C.
∵BC = BD，
∴∠BDC = ∠C，
∴∠ABC = ∠BDC.
∵∠C = ∠C，
∴△ABC∽△BDC.
∴$\frac{CD}{CB}=\frac{CB}{CA}$，
∴$CB^{2}=CD\cdot CA$.