《2025年金考卷名师名题单元双测卷数学必修第一册人教版B》

15.(13分)(开放创新)设$A = (-1,3)$，$B = [1,+\infty)$，$C = (m - 2,+\infty)$.
(1)若$m = 2$，求$A\cup (B\cap C)$；
(2)若______，求实数$m$的取值范围.
请从①$A\subseteq C$，②$A\cap C\neq \varnothing$，③$C\subseteq \complement_{\mathbf{R}}A$这三个条件中选一个填入(2)中横线处，并完成第(2)问的解答.(如多选，则按第一个选择的解答给分)

答案： [解析]　
(1)若$m = 2$，则$C = (0,+\infty)$，
∴$B\cap C = [1,+\infty)$，　　　　　　　　　　　　　　　(3分)
∴$A\cup (B\cap C) = (-1,+\infty)$。　　　　　　　　　　　(6分)
(2)选①， 若$A\subseteq C$，则$m - 2\leq -1$，即$m\leq 1$，
∴实数$m$的取值范围是$(-\infty,1]$。　　　　　　　　(13分) 选②， 若$A\cap C\neq \varnothing$，则$m - 2\lt 3$，即$m\lt 5$，
∴实数$m$的取值范围是$(-\infty,5)$。　　　　　　　　　(13分) 选③，
∵$C\subseteq \complement_{\mathbf{R}}A$，$\complement_{\mathbf{R}}A = (-\infty,-1]\cup [3,+\infty)$，
∴$m - 2\geq 3$，即$m\geq 5$，
∴实数$m$的取值范围是$[5,+\infty)$。　　　　　　　　　(13分)

16.(15分)(教材变式)已知集合$A = \{x|-4\leq x\leq 3\}$，$B = \{x|m - 1\leq x ＜ 2m + 1\}$.
(1)若$A\cap B = B$，求实数$m$的取值范围；
(2)当$x \in \mathbf{N}^{*}$时，求$A$的非空真子集；
(3)若不存在实数$x$，使$x \in A$，$x \in B$同时成立，求实数$m$的取值范围.

答案：
集合的交运算+集合间的关系 思路导引　
(1)由$A\cap B = B$得$B\subseteq A$，分类讨论$B = \varnothing$与$B\neq \varnothing$两种情况，结合数轴法即可得解；
(2)先由条件确定集合$A$中的元素，从而列举出集合$A$的非空真子集即可；
(3)由题意得$A\cap B = \varnothing$，分类讨论$B = \varnothing$与$B\neq \varnothing$两种情况，结合数轴法即可得解。 [解析]　
(1)因为$A\cap B = B$，所以$B\subseteq A$。　　　　　　(1分) 又因为$A = \{x|-4\leq x\leq 3\}$，$B = \{x|m - 1\leq x ＜ 2m + 1\}$， 所以当$B = \varnothing$时，$m - 1\geq 2m + 1$，得$m\leq -2$；　　　　　(2分) 当$B\neq \varnothing$时，则$m\gt -2$，用数轴表示两集合，如图，得$\begin{cases}m - 1\geq -4\\2m + 1\leq 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}m\geq -3\\m\leq 1\end{cases}$，故$-2\lt m\leq 1$。　　　　　(3分) 　　　　　 综上可得，$m\leq 1$，即实数$m$的取值范围为$(-\infty,1]$。　　(4分)
(2)因为$x\in \mathbf{N}^{*}$，$A = \{x|-4\leq x\leq 3\}$，所以$A = \{1,2,3\}$， 所以集合$A$的非空真子集为$\{1\}$，$\{2\}$，$\{3\}$，$\{1,2\}$，$\{1,3\}$，$\{2,3\}$。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(8分)
(3)因为不存在实数$x$，使$x\in A$，$x\in B$同时成立， 所以$A\cap B = \varnothing$。　　　　　　　　　　　　　　　　　(10分) 又因为$A = \{x|-4\leq x\leq 3\}$，$B = \{x|m - 1\leq x ＜ 2m + 1\}$， 所以当$B = \varnothing$时，由
(1)得$m\leq -2$； 当$B\neq \varnothing$时，则$m\gt -2$，用数轴表示两集合，如图，得$m - 1\gt 3$或$2m + 1\leq -4$，解得$m\gt 4$或$m\leq -\frac{5}{2}$，故$m\gt 4$。　　(13分) 　　　　　 　　　　　 综上可得，$m\leq -2$或$m\gt 4$，即实数$m$的取值范围是$(-\infty,-2]\cup(4,+\infty)$。　　　　　　　　　　　　　　　　(15分)