《2025年金考卷名师名题单元双测卷数学必修第一册人教版B》

19.(17分)[2024南师附中高一期中]设甲：$2|x|+|x - m|\leq6 - x$，乙：$\frac{x}{x + 2}＜0$.
(1)当$m = 2$时，求甲中不等式的解集；
(2)若甲是乙的必要不充分条件，求$m$的取值范围.

答案： 【解析】 （1）当$m = 2$时，甲：$2\vert x\vert+\vert x - 2\vert\leq6 - x$。 ①当$x\geq2$时，甲：$2x + x - 2\leq6 - x$，解得$x\leq2$，故$x = 2$；（2分） ②当$0＜x＜2$时，甲：$2x - x + 2\leq6 - x$，解得$x\leq2$，故$0＜x＜2$；（4分） ③当$x\leq0$时，甲：$-2x - x + 2\leq6 - x$，解得$x\geq - 2$，故$-2\leq x\leq0$。 综上所述，甲中不等式的解集为$[-2,2]$。（7分） （2）乙：$-\frac{x}{x + 2}＜0$，等价于$x(x + 2)＜0$，解得$-2＜x＜0$。 若$m＞0$， ①当$x\geq m$时，甲：$2x + x - m\leq6 - x$，解得$x\leq\frac{6 + m}{4}$； ②当$0＜x＜m$时，甲：$2x - x + m\leq6 - x$，解得$x\leq\frac{6 - m}{2}$； ③当$x\leq0$时，甲：$-2x - x + m\leq6 - x$，解得$x\geq\frac{m - 6}{2}$。 由题意得，乙中不等式的解集是甲中不等式的解集的真子集， 则$\begin{cases}m＞0\\\frac{m - 6}{2}\leq - 2\end{cases}$，解得$0＜m\leq2$。（10分） 若$m = 0$， ①当$x\geq0$时，甲：$3x\leq6 - x$，解得$x\leq\frac{3}{2}$，故$0\leq x\leq\frac{3}{2}$； ②当$x＜0$时，甲：$-3x\leq6 - x$，解得$x\geq - 3$，故$-3\leq x＜0$； 此时甲中不等式的解集为$[-3,\frac{3}{2}]$，满足题意。（13分） 若$m＜0$， ①当$x\geq0$时，甲：$2x + x - m\leq6 - x$，解得$x\leq\frac{6 + m}{4}$； ②当$m＜x＜0$时，甲：$-2x + x - m\leq6 - x$，化简得$m\geq - 6$； ③当$x\leq m$时，甲：$-2x - x + m\leq6 - x$，解得$x\geq\frac{m - 6}{2}$。 要满足题意，则$\begin{cases}m＜0\\m\geq - 6\\\frac{m - 6}{2}\leq - 2\end{cases}$，解得$-6\leq m＜0$。（16分） 综上所述，$m$的取值范围是$[-6,2]$。（17分）