《2025年金考卷名师名题单元双测卷数学必修第一册人教版B》

8.已知关于$x$的不等式组$\begin{cases}x^{2} - 2x - 8 ＞ 0\\2x^{2} + (2k + 7)x + 7k ＜ 0\end{cases}$仅有一个整数解，则$k$的取值范围为 ( )
A.$[ - 5,3)\cup(4,5]$
B.$[ - 5,3)$
C.$(4,5]$
D.$[ - 5,5]$

答案： A 解不等式 $x^{2}-2x - 8＞0$，得 $x ＞ 4$ 或 $x ＜ - 2$，解方程 $2x^{2}+(2k + 7)x + 7k = 0$，得 $x_{1}=-\frac{7}{2}$，$x_{2}=-k$。①当 $k＞\frac{7}{2}$，即 $-k＜-\frac{7}{2}$ 时，不等式 $2x^{2}+(2k + 7)x + 7k ＜ 0$ 的解集为 $(-k,-\frac{7}{2})$，此时不等式组 $\begin{cases}x^{2}-2x - 8＞0\\2x^{2}+(2k + 7)x + 7k ＜ 0\end{cases}$ 的解集为 $(-k,-\frac{7}{2})$，依题意得 $-5\leqslant -k ＜ - 4$，即 $4 ＜ k\leqslant 5$。②当 $k＜\frac{7}{2}$，即 $-k＞-\frac{7}{2}$ 时，不等式 $2x^{2}+(2k + 7)x + 7k ＜ 0$ 的解集为 $(-\frac{7}{2},-k)$，要使不等式组 $\begin{cases}x^{2}-2x - 8＞0\\2x^{2}+(2k + 7)x + 7k ＜ 0\end{cases}$ 的解集中只有一个整数，则需满足 $-3 ＜ -k\leqslant 5$，即 $-5\leqslant k ＜ 3$。所以 $k$ 的取值范围为 $[-5,3)\cup(4,5]$。故选 A。

9.已知$1\leq a\leq2$，$3\leq b\leq5$，则 ( )
A.$4\leq a + b\leq7$
B.$2\leq b - a\leq3$
C.$3\leq ab\leq10$
D.$\frac{1}{3}\leq\frac{a}{b}\leq\frac{2}{5}$

答案： AC $A(√)B(×)$ 因为 $1\leqslant a\leqslant 2$，$3\leqslant b\leqslant 5$，所以 $4\leqslant a + b\leqslant 7$，又 $-2\leqslant -a\leqslant - 1$，所以 $1\leqslant b - a\leqslant 4$；$C(√)D(×)$ 因为 $1\leqslant a\leqslant 2$，$3\leqslant b\leqslant 5$，所以 $3\leqslant ab\leqslant 10$，又 $\frac{1}{5}\leqslant\frac{1}{b}\leqslant\frac{1}{3}$，所以 $\frac{1}{5}\leqslant\frac{a}{b}\leqslant\frac{2}{3}$。故选 AC。

10.$x^{2} - bx + c ＜ 0$的解集为$(x_{0},x_{0} + 2)$，则 ( )
A.$b^{2} = 4c + 4$
B.若$1 - b + c ＞ 0$，则$x_{0}^{2} ＜ 1$
C.若$x_{0} ＞ 0$，则$cx^{2} - bx + 1 ＜ 0$的解集为$(\frac{1}{x_{0} + 2},\frac{1}{x_{0}})$
D.$b + c$的最小值为$-\frac{9}{4}$

答案： AC 由题意可知，方程 $x^{2}-bx + c = 0$ 的根为 $x_{0}$，$x_{0}+2$，则 $\begin{cases}x_{0}+x_{0}+2 = 2x_{0}+2 = b\\x_{0}(x_{0}+2)=c\end{cases}$。$A(√)b^{2}-4c=(2x_{0}+2)^{2}-4x_{0}(x_{0}+2)=4$，即 $b^{2}=4c + 4$；$B(×)$ 若 $x_{0}=2$，则 $\begin{cases}b = 6\\c = 8\end{cases}$，满足 $1 - b + c = 1 - 6 + 8 = 3＞0$，但 $x_{0}^{2}=4＞1$；$C(√)$ 若 $x_{0}＞0$，则 $x_{0}+2＞x_{0}＞0$，不等式 $cx^{2}-bx + 1＜0$ 即为 $x_{0}(x_{0}+2)x^{2}-(2x_{0}+2)x + 1＜0$，整理得 $(x_{0}x - 1)[(x_{0}+2)x - 1]＜0$，令 $(x_{0}x - 1)[(x_{0}+2)x - 1]=0$，解得 $x=\frac{1}{x_{0}}$ 或 $x=\frac{1}{x_{0}+2}$，且 $x_{0}(x_{0}+2)＞0$，$\frac{1}{x_{0}}＞\frac{1}{x_{0}+2}$，所以 $cx^{2}-bx + 1＜0$ 的解集为 $(\frac{1}{x_{0}+2},\frac{1}{x_{0}})$；$D(×)$ 因为 $b + c=(2x_{0}+2)+x_{0}(x_{0}+2)=(x_{0}+2)^{2}-2\geqslant - 2$，当且仅当 $x_{0}=-2$ 时，等号成立，所以 $b + c$ 的最小值为 $-2$。故选 AC。

11.(思维创新)阅读理解：$a$，$b$，$c$，$d$是实数，我们把符号$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}$称为$2\times2$行列式，并且规定：$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}= a\times d - b\times c$，例如：$\begin{vmatrix}3&2\\-1&-2\end{vmatrix}=3\times( - 2)-2\times( - 1)= - 6 + 2 = - 4$.二元一次方程组$\begin{cases}a_{1}x + b_{1}y = c_{1}\\a_{2}x + b_{2}y = c_{2}\end{cases}$的解可以利用$2\times2$行列式表示为$\begin{cases}x = \frac{D_{x}}{D}\\y = \frac{D_{y}}{D}\end{cases}$，其中$D = \begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\end{vmatrix}$，$D_{x} = \begin{vmatrix}c_{1}&b_{1}\\c_{2}&b_{2}\end{vmatrix}$，$D_{y} = \begin{vmatrix}a_{1}&c_{1}\\a_{2}&c_{2}\end{vmatrix}$.问题：对于用上面的方法解二元一次方程组$\begin{cases}2x + y = 1\\3x - 2y = 12\end{cases}$时，下面说法正确的是 ( )
A.$D = - 7$
B.$D_{x} = - 14$
C.$D_{y} = 27$
D.方程组的解集为$\{(2, - 3)\}$

答案： ABD $A(√)D=\begin{vmatrix}2&1\\3&-2\end{vmatrix}=2\times(-2)-3\times1=-7$；$B(√)D_{x}=\begin{vmatrix}1&1\\12&-2\end{vmatrix}=-2 - 1\times12=-14$；$C(×)D_{y}=\begin{vmatrix}2&1\\3&12\end{vmatrix}=2\times12 - 1\times3 = 21$；$D(√)$ 方程组的解为 $\begin{cases}x=\frac{D_{x}}{D}=\frac{-14}{-7}=2\\y=\frac{D_{y}}{D}=\frac{21}{-7}=-3\end{cases}$。故选 ABD。