《2025年金考卷名师名题单元双测卷数学必修第一册人教版B》

18. (17分)(思维创新)已知定义在R上的函数$f(x)$在区间$[0,3]$上单调递减，且$3f(1)=1$. $\forall x,y\in R$，$f(x - y)=3f(x)f(y)-f(x + y)$.
(1)证明：$f(x)\geq-\frac{2}{3}$；
(2)判断函数$f(x)$的奇偶性，并给予证明；
(3)当$x\in[ -3,3]$时，求不等式$f(2x)\leq3f(x)-4f(1)$的解集.

答案： 【解析】
(1)令$x = y=\frac{t}{2}$，则有$f(t)+f(0)=3f(\frac{t}{2})\cdot f(\frac{t}{2})=3[f(\frac{t}{2})]^{2}$， (1分) 由$[f(\frac{t}{2})]^{2}\geq0$， 得$f(t)+f(0)\geq0$， 即$f(t)\geq - f(0)$，所以$f(x)\geq - f(0)$。 (2分) 令$x = 1$，$y = 0$，则$f(1)=3f(1)f(0)-f(1)$， 【关键提醒】也可以令$x = y = 0$，但得到$f(0)$的增解需注意排除。 即$2f(1)=3f(1)f(0)$， 因为$f(1)=\frac{1}{3}$，所以$f(0)=\frac{2}{3}$， 所以$f(x)\geq - \frac{2}{3}$。 (5分)
(2)函数$f(x)$为偶函数。 (6分) 证明如下： 由
(1)知，$f(0)=\frac{2}{3}$， 取$x = 0$， 【关键提醒】观察等式$f(x - y)=3f(x)f(y)-f(x + y)$与奇偶性的自变量互为相反数，故只需令$x = 0$。 则$f( - y)=3f(0)f(y)-f(0 + y)$， (8分) 所以$f( - y)=3\times\frac{2}{3}f(y)-f(y)$， 所以$f( - y)=f(y)$， 所以函数$f(x)$为偶函数。 (11分)
(3)令$x = y = m$， 【指点迷津】用赋值法，将$f(2x)$转化为$[f(x)]^{2}$，从而把不等式转化为关于$f(x)$的一元二次不等式。 则$f(0)=3f(m)f(m)-f(2m)$， 所以$f(2m)=3[f(m)]^{2}-\frac{2}{3}$，所以$f(2x)=3[f(x)]^{2}-\frac{2}{3}$。 (12分) 因为$f(2x)\leq3f(x)-4f(1)$，所以$3[f(x)]^{2}-\frac{2}{3}\leq3f(x)-\frac{4}{3}$， 所以$9[f(x)]^{2}-9f(x)+2\leq0$，即$[3f(x)-2][3f(x)-1]\leq0$， 即$\frac{1}{3}\leq f(x)\leq\frac{2}{3}$， 又$f(1)=\frac{1}{3},f(0)=\frac{2}{3}$， 所以$f(1)\leq f(x)\leq f(0)$。 (14分) 当$x\in[ - 3,3]$时，因为$f(x)$在区间$[0,3]$上单调递减，且由
(2)知函数$f(x)$为偶函数，所以$f(x)$在$[ - 3,0]$上单调递增，所以$f(1)\leq f(|x|)\leq f(0)$，所以$|x|\leq1$，解得$-1\leq x\leq1$。 【突破瓶颈】$f(x)$在区间$[0,3]$上单调递减，在区间$[ - 3,0]$上单调递增，利用绝对值，可避开分类讨论。 所以当$x\in[ - 3,3]$时，不等式$f(2x)\leq3f(x)-4f(1)$的解集为$[ - 1,1]$。 (17分)

19. (17分)(探索创新)定义：设函数$f(x)$的定义域为$D$，若存在实数$m$，$M$，对任意的实数$x\in D$，有$f(x)\leq M$，则称函数$f(x)$为有上界函数，$M$是$f(x)$的一个上界；有$f(x)\geq m$，则称函数$f(x)$为有下界函数，$m$是$f(x)$的一个下界.
(1)若函数$f(x)=x^{2}+cx - 2$在$(0,1)$上是以2为上界的有界函数，求实数$c$的取值范围.
(2)某同学在研究函数$y = x+\frac{b}{x}(b ＞ 0)$的单调性时发现该函数在$(0,\sqrt{b}]$与$[\sqrt{b}, +\infty)$上具有单调性，
(i)请直接写出函数$y = x+\frac{b}{x}(b ＞ 0)$在$(0,\sqrt{b}]$与$[\sqrt{b}, +\infty)$上的单调性，不必证明；
(ii)若函数$g(x)=\frac{x^{2}+2a}{x}(a ＞ 0)$的定义域为$[4,16]$，$m$是函数$g(x)$的下界，请利用(i)的结论，求$m$的最大值$m(a)$.

答案： 【解析】
(1)依题意得，对任意$x\in(0,1)$，$x^{2}+cx - 2\leq2$恒成立。 $\therefore c\leq\frac{4}{x}-x$对任意$x\in(0,1)$恒成立。 (1分) 令$h(x)=\frac{4}{x}-x$，显然函数$h(x)=\frac{4}{x}-x$在$(0,1)$上单调递减， $\therefore$当$x\in(0,1)$时，$h(x)＞h(1)=3$， $\therefore c\leq3$，即实数$c$的取值范围为$( - \infty,3]$。 (5分)
(2)(i)函数$y=x+\frac{b}{x}(b＞0)$在$(0,\sqrt{b}]$上为减函数，在$[\sqrt{b},+\infty)$上为增函数。 (7分) (ii)$g(x)=\frac{x^{2}+2a}{x}=x+\frac{2a}{x}(a＞0)$。 ①当$\sqrt{2a}\geq16$，即$a\geq128$时，由(i)知$g(x)$在$[4,16]$上为减函数， $\therefore g(x)\geq g(16)=16+\frac{a}{8}$， $\therefore m(a)=16+\frac{a}{8}$； (10分) ②当$\sqrt{2a}\leq4$，即$0 ＜ a\leq8$时，由(i)知$g(x)$在$[4,16]$上为增函数， $\therefore g(x)\geq g(4)=4+\frac{a}{2}$， $\therefore m(a)=4+\frac{a}{2}$； (12分) ③当$4 ＜ \sqrt{2a}＜16$，即$8 ＜ a ＜ 128$时，$g(x)=x+\frac{2a}{x}\geq2\sqrt{2a}$， 当且仅当$x=\sqrt{2a}$时等号成立， $\therefore m(a)=2\sqrt{2a}$。 (15分) 综上所述，$m(a)=\begin{cases}4+\frac{a}{2},0 ＜ a\leq8\\2\sqrt{2a},8 ＜ a ＜ 128\\16+\frac{a}{8},a\geq128\end{cases}$ (17分)