《2025年金考卷名师名题单元双测卷数学必修第一册人教版B》

1. [2024安徽省皖北六校高一期末]不等式$-x^{2}+x + 2＞0$的解集为 ( )
A. $(-\infty,-2)\cup(-1,+\infty)$
B. $(-\infty,-1)\cup(2,+\infty)$
C. $(-1,2)$
D. $(-2,-1)$

答案： C：原不等式可化为$x^{2}-x - 2＜0$，即$(x + 1)(x - 2)＜0$，解得$-1＜x＜2$。故选C。

2. [2024兵团二中高一期中]若$a＞0,ab＞0$，则 ( )
A. $b＞0$
B. $b\geq0$
C. $b＜0$
D. $b\in\mathbf{R}$

答案： A（√）由$ab＞0$，$a＞0$，得$\frac{ab}{a}＞\frac{0}{a}$，即$b＞0$；B（×）D（×）当$b = 0$时，$ab = 0$，不满足题意；C（×）当$b＜0$时，由$a＞0$，得$ab＜0$，不满足题意。故选A。

3. [2024天津一中期末]已知$x,y\in\mathbf{R}$，则“$x＞0$”是“$|x|+|y|＞0$”的 ( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件

答案： 若$x＞0$，则$\vert x\vert＞0$，必有$\vert x\vert+\vert y\vert＞0$，充分性成立；若$\vert x\vert+\vert y\vert＞0$，$x$可以是负数，如$x = -1$，$\vert -1\vert+\vert y\vert＞0$成立，必要性不成立。所以“$x＞0$”是“$\vert x\vert+\vert y\vert＞0$”的充分不必要条件。故选A。

4. [2024北京四中高一期中]若关于$x,y$的方程组$\begin{cases}x^{2}+y^{2}-1 = 0\\y - x - m = 0\end{cases}$有唯一的一组解，则实数$m$的值是 ( )
A. $\sqrt{2}$
B. $-\sqrt{2}$
C. $\pm\sqrt{2}$
D. 1

答案： $\begin{cases}x^{2}+y^{2}-1 = 0\\y - x - m = 0\end{cases}$，消去$y$，得$2x^{2}+2mx+m^{2}-1 = 0$，又因为方程组只有一组解，所以$2x^{2}+2mx+m^{2}-1 = 0$只有一个解，所以$\Delta = 4m^{2}-4\times2\times(m^{2}-1)=0$，解得$m=\pm\sqrt{2}$。故选C。

5. [2024杭州学军中学期末]小港、小海两人相约两次到同一水果店购买葡萄，小港每次购买50元葡萄，小海每次购买3千克葡萄，若这两次葡萄的价格不同，则 ( )
A. 小海两次购买葡萄的平均价格比小港低
B. 小港两次购买葡萄的平均价格比小海低
C. 小港与小海两次购买葡萄的平均价格一样
D. 两人两次购买葡萄的平均价格无法比较

答案： 设两次葡萄的价格分别为$a$元/千克和$b$元/千克，且$a\neq b$，小海两次均购买3千克葡萄，则平均价格为$\frac{3(a + b)}{6}=\frac{a + b}{2}$（元/千克），小港两次均购买50元葡萄，则平均价格为$\frac{100}{\frac{50}{a}+\frac{50}{b}}=\frac{2ab}{a + b}$（元/千克）。因为$\frac{a + b}{2}-\frac{2ab}{a + b}=\frac{(a + b)^{2}-4ab}{2(a + b)}=\frac{(a - b)^{2}}{2(a + b)}＞0$，所以小港两次购买葡萄的平均价格比小海低。故选B。

6. [2024上海市实验学校月考]若关于$x$的不等式$mx^{2}-5x + m\leq0$的解集为$\mathbf{R}$，则实数$m$的取值范围是 ( )
A. $(-\infty,-\frac{5}{2}]$
B. $(-\infty,-\frac{5}{2})$
C. $[-\frac{5}{2},0)$
D. $(-\frac{5}{2},0)$

答案： 题中没有说不等式是一元二次不等式，故要分$m = 0$，$m\neq0$两种情况讨论。当$m = 0$时，不等式为$-5x\leq0\Rightarrow x\geq0$，显然不符合题意；当$m\neq0$时，因为关于$x$的不等式$mx^{2}-5x + m\leq0$的解集为$\mathbf{R}$，所以$\begin{cases}m＜0\\\Delta = (-5)^{2}-4m^{2}\leq0\end{cases}\Rightarrow m\leq-\frac{5}{2}$。所以实数$m$的取值范围是$(-\infty,-\frac{5}{2}]$。故选A。

7. [2023南阳一中高一期末]已知使不等式$x^{2}+(a + 1)x + a\leq0$成立的任意一个$x$，都不满足$x + 2\leq0$，则实数$a$的取值范围为 ( )
A. $(-\infty,-1)$
B. $(-\infty,1]$
C. $[-2,+\infty)$
D. $(-\infty,2)$

答案： 由$x + 2\leq0$得$x\leq - 2$，因为使不等式$x^{2}+(a + 1)x + a\leq0$成立的任意一个$x$，都不满足$x + 2\leq0$，所以不等式$x^{2}+(a + 1)x + a\leq0$的解集是$(-2,+\infty)$的子集。由$x^{2}+(a + 1)x + a\leq0$，得$(x + a)(x + 1)\leq0$，当$a = 1$时，$x\in\{ - 1\}\subseteq(-2,+\infty)$，符合题意；当$a＞1$时，$x\in[-a,-1]\subseteq(-2,+\infty)$，则$-2＜-a＜-1$，即$1＜a＜2$；当$a＜1$时，$x\in[-1,-a]\subseteq(-2,+\infty)$，符合题意。综上所述，实数$a$的取值范围为$(-\infty,2)$。故选D。