《2025年金考卷名师名题单元双测卷数学必修第一册人教版B》

1. [2024重庆一中高一期末]函数$y = 3x+\frac{1}{x}(x ＞ 0)$的最小值是( )
A. 4
B. 5
C. $3\sqrt{2}$
D. $2\sqrt{3}$

答案： 要求和的最小值，考虑凑出积为定值，两式相乘即可。因为 $x ＞ 0$，所以 $y = 3x+\frac{1}{x}\geqslant2\sqrt{3x\cdot\frac{1}{x}} = 2\sqrt{3}$，当且仅当 $3x=\frac{1}{x}$，即 $x=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 时，等号成立，则 $y = 3x+\frac{1}{x}(x ＞ 0)$ 的最小值是 $2\sqrt{3}$。故选 D。

2. [2024武汉二中期末]已知正数$a,b$满足$a + 2b = 1$，则 ( )
A. $ab\geqslant\frac{1}{8}$
B. $ab ＞ \frac{1}{8}$
C. $0 ＜ ab\leqslant\frac{1}{8}$
D. $0 ＜ ab ＜ \frac{1}{8}$

答案： 由题意得，$a ＞ 0$，$b ＞ 0$，则 $ab ＞ 0$，$a + 2b = 1\geqslant2\sqrt{2ab}$，即 $0 ＜ ab\leqslant\frac{1}{8}$，当且仅当 $a = 2b$，即 $a=\frac{1}{2}$，$b=\frac{1}{4}$ 时等号成立。故选 C。

3. [2024扬州中学模拟]设$x ＞ 0,y ＞ 0,\frac{1}{x}+2y = 2$，则$x+\frac{1}{y}$的最小值为 ( )
A. $\frac{3}{2}$
B. $2\sqrt{2}$
C. $\frac{3}{2}+\sqrt{2}$
D. 3

答案： 因为 $\frac{1}{x}+2y = 2$，所以 $\frac{1}{2x}+y = 1$，因为 $x ＞ 0$，$y ＞ 0$，所以 $x+\frac{1}{y}=(x+\frac{1}{y})(\frac{1}{2x}+y)=\frac{1}{2}+xy+\frac{1}{2xy}+1=\frac{3}{2}+xy+\frac{1}{2xy}\geqslant\frac{3}{2}+2\sqrt{xy\cdot\frac{1}{2xy}}=\frac{3}{2}+2\times\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3}{2}+\sqrt{2}$，当且仅当 $\begin{cases}xy=\frac{1}{2xy}\\\frac{1}{2x}+y = 1\end{cases}$，即 $\begin{cases}x=\frac{1 + \sqrt{2}}{2}\\y = 2-\sqrt{2}\end{cases}$ 时取等号。故选 C。

4. [2024大连二十四中高一期中]某服装加工厂为了适应市场需求，引进某种新设备，以提高生产效率和降低生产成本.已知购买$m$台设备的总成本(单位：万元)为$y=\frac{1}{200}m^{2}+m + 200$.若要使每台设备的平均成本最低，则应购买设备 ( )
A. 100台
B. 200台
C. 300台
D. 400台

答案： 由题意，$\frac{y}{m}=\frac{1}{200}m + 1+\frac{200}{m}\geqslant2\sqrt{\frac{1}{200}m\cdot\frac{200}{m}}+1 = 3$，当且仅当 $\frac{m}{200}=\frac{200}{m}$，即 $m = 200$ 时，等号成立，所以应购买 200 台，才能使得每台设备的平均成本最低。故选 B。

5. [2024雅安中学模拟改编]已知正实数$a,b,c$满足$a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$，则$ab + bc + ca$的最大值为 ( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

答案： 因为 $ab\leqslant\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2})$，$bc\leqslant\frac{1}{2}(b^{2}+c^{2})$，$ac\leqslant\frac{1}{2}(a^{2}+c^{2})$，当且仅当 $a = b = c$ 时，等号成立，所以 $ab + bc + ac\leqslant a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$，即 $ab + bc + ca$ 的最大值为 3。故选 C。

6. [2024江苏省淮安市高一期中]已知实数$a,b,c$满足$c - b = a+\frac{2}{a}-2,c + b = 2a^{2}+2a+\frac{2}{a}$，且$a ＞ 0$，则$a,b,c$的大小关系是 ( )
A. $b ＞ c ＞ a$
B. $c ＞ b ＞ a$
C. $a ＞ c ＞ b$
D. $c ＞ a ＞ b$

答案： 因为 $a ＞ 0$，所以由均值不等式得 $c - b = a+\frac{2}{a}-2\geqslant2\sqrt{a\cdot\frac{2}{a}}-2 = 2\sqrt{2}-2 ＞ 0$，故 $c ＞ b$，因为 $c + b = 2a^{2}+2a+\frac{2}{a}$，$c - b = a+\frac{2}{a}-2$，所以两式相减得，$2b = 2a^{2}+2a+\frac{2}{a}-a-\frac{2}{a}+2 = 2a^{2}+a + 2$，故 $b = a^{2}+\frac{1}{2}a + 1$，所以 $b - a = a^{2}-\frac{1}{2}a + 1=(a-\frac{1}{4})^{2}+\frac{15}{16}＞0$，故 $b ＞ a$，所以 $c ＞ b ＞ a$。故选 B。

7. [2024东北师大附中高一验收考试]若不等式$\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{2}{\sqrt{b}}\geqslant\frac{m}{\sqrt{a}+2\sqrt{b}}$恒成立，则实数$m$的最大值为 ( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 9

答案： 解决不等式恒成立问题，先分离参数，进而将问题转化为求式子的最值。由题意 $\frac{\sqrt{a}+2\sqrt{b}}{\sqrt{a}}+\frac{2\sqrt{a}+4\sqrt{b}}{\sqrt{b}}\geqslant m$ 恒成立，即 $5+\frac{2\sqrt{b}}{\sqrt{a}}+\frac{2\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\geqslant m$ 恒成立。又 $5+\frac{2\sqrt{b}}{\sqrt{a}}+\frac{2\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\geqslant5 + 2\sqrt{\frac{2\sqrt{b}}{\sqrt{a}}\times\frac{2\sqrt{a}}{\sqrt{b}}}=9$，当且仅当 $a = b$ 时取等号，故 $m\leqslant9$，即实数 $m$ 的最大值为 9。故选 D。

8. (数学文化)[2024北师大实验中学高一期中]无字证明是指仅用图形而无需文字解释就能证明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理.在同一平面内有形状、大小相同的图1和图2，如图所示，其中四边形$ABCD$为矩形，三角形$BCE$为等腰直角三角形，设$AB=\sqrt{a}$，$BC=\sqrt{b}(a ＞ 0,b ＞ 0)$，则借助这两个图形可以直接无字证明的不等式是 ( )


A. $\frac{a + b}{2}\geqslant\sqrt{ab}(a ＞ 0,b ＞ 0)$
B. $\frac{a + b}{2}\leqslant\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}}(a ＞ 0,b ＞ 0)$
C. $\frac{2ab}{a + b}\leqslant\sqrt{ab}(a ＞ 0,b ＞ 0)$
D. $a^{2}+b^{2}\geqslant2\sqrt{ab}(a ＞ 0,b ＞ 0)$

答案： 由四边形 $ABCD$ 为矩形，三角形 $BCE$ 为等腰直角三角形，可推出三角形 $ABF$ 也为等腰直角三角形，所以图 1 的阴影部分的面积 $S_{1}=S_{\triangle ABF}+S_{\triangle BCE}=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}+\frac{1}{2}\cdot\sqrt{b}\cdot\sqrt{b}=\frac{a + b}{2}$，图 2 阴影部分的面积 $S_{2}=S_{矩形 ABCD}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}$，由两图阴影部分面积的关系可直观得出 $S_{1}\geqslant S_{2}$，即 $\frac{a + b}{2}\geqslant\sqrt{ab}$，当且仅当 $a = b$ 时，等号成立。故选 A。