《2025年金考卷名师名题单元双测卷数学必修第一册人教版B》

8. (思维创新)[2024同济大学二附中高一期中]设$0 ＜ b ＜ a + 1$,若关于$x$的不等式$(x - b)^{2} ＞ (ax)^{2}$的解集中的整数解恰有3个,则实数$a$的取值范围是 ( )
A. $\{a| - 1 ＜ a ＜ 0\}$
B. $\{a|0 ＜ a ＜ 1\}$
C. $\{a|1 ＜ a ＜ 3\}$
D. $\{a|3 ＜ a ＜ 5\}$

答案： C：由$(x - b)^{2}＞(ax)^{2}$，可得$(a^{2}-1)x^{2}+2bx - b^{2}＜0$，由题意可知，不等式$(a^{2}-1)x^{2}+2bx - b^{2}＜0$的解集在方程$(a^{2}-1)x^{2}+2bx - b^{2}=0$的两根之间，则$a^{2}-1＞0$，又因为$0 ＜ b ＜ a + 1$，所以$a ＞ 1$，$\Delta = 4b^{2}+4b^{2}(a^{2}-1)=4a^{2}b^{2}＞0$。解不等式$(a^{2}-1)x^{2}+2bx - b^{2}＜0$可得$-\frac{b}{a - 1}＜x＜\frac{b}{a + 1}$，所以不等式$(a^{2}-1)x^{2}+2bx - b^{2}＜0$的解集为$\{x|-\frac{b}{a - 1}＜x＜\frac{b}{a + 1}\}$。因为$0 ＜ b ＜ a + 1$，所以$0＜\frac{b}{a + 1}＜1$，所以原不等式的解集中的整数解为$-2,-1,0$，故$-3\leq-\frac{b}{a - 1}＜-2$，故$2(a - 1)＜b\leq3(a - 1)$，因为$a ＞ 1$，$0 ＜ b ＜ a + 1$，所以$2(a - 1)＜a + 1$，解得$a ＜ 3$，故$1 ＜ a ＜ 3$，故选C。

9. [2024楚雄一中期末]已知正数$a,b$满足$a + 5b = ab$,则 ( )
A. $\frac{5}{a} + \frac{1}{b} = 1$
B. $a$与$b$可能相等
C. $\sqrt{ab}\geq6$
D. $a + b$的最小值为$6 + 2\sqrt{5}$

答案： ABD：列表解析·直观解疑惑，根据题意，逐项分析如下： |选项|正误|原因| | ---- | ---- | ---- | |A|√|由正数$a,b$满足$a + 5b = ab$，得$\frac{a + 5b}{ab}=\frac{5}{a}+\frac{1}{b}=1$| |B|√|若$a = b$，则$6a = a^{2}$，而$a$为正数，则$a = b = 6$| |C|×|显然$ab = a + 5b\geq2\sqrt{5ab}$，则$\sqrt{ab}\geq2\sqrt{5}$，当且仅当$a = 5b = 10$时取等号| |D|√|观察发现可用“1”的代换凑出积为定值，$a + b = (\frac{5}{a}+\frac{1}{b})(a + b)=6+\frac{5b}{a}+\frac{a}{b}\geq6 + 2\sqrt{5}$，当且仅当$a=\sqrt{5}b = 5+\sqrt{5}$时取等号|

10. [2023辽宁省葫芦岛市高一期末]已知集合$\{x|x^{2} + ax + b = 0,a ＞ 0\}$有且仅有两个子集,则下面说法正确的是 ( )
A. $a^{2} - b^{2} ＞ 4$
B. $a^{2} + \frac{1}{b} ＜ 4$
C. 若不等式$x^{2} + ax - b ＜ 0$的解集为$\{x|x_{1} ＜ x ＜ x_{2}\}$,则$x_{1}x_{2} ＜ 0$
D. 若不等式$x^{2} + ax + b ＜ c$的解集为$\{x|x_{1} ＜ x ＜ x_{2}\}$,且$|x_{1} - x_{2}| = 4$,则$c = 4$

答案： CD：$A(\times)$由于集合$\{x|x^{2}+ax + b = 0,a ＞ 0\}$有且仅有两个子集，所以方程$x^{2}+ax + b = 0$只有一个实数解，所以$\Delta = a^{2}-4b = 0$，所以$a^{2}=4b$，由于$a ＞ 0$，所以$b ＞ 0$。$a^{2}-b^{2}=4b - b^{2}=-(b - 2)^{2}+4\leq4$，当$b = 2$，$a = 2\sqrt{2}$时等号成立。$B(\times)a^{2}+\frac{1}{b}=4b+\frac{1}{b}\geq2\sqrt{4b\cdot\frac{1}{b}} = 4$，当且仅当$4b=\frac{1}{b}$，即$b=\frac{1}{2}$，$a=\sqrt{2}$时等号成立。$C(\surd)$不等式$x^{2}+ax - b ＜ 0$的解集为$\{x|x_1 ＜ x ＜ x_2\}$，所以方程$x^{2}+ax - b = 0$的两根分别为$x_1,x_2$，所以$x_1x_2=-b ＜ 0$。$D(\surd)$不等式$x^{2}+ax + b ＜ c$的解集为$\{x|x_1 ＜ x ＜ x_2\}$，即方程$x^{2}+ax + b - c = 0$的两根分别为$x_1,x_2$，且$|x_1 - x_2| = 4$，则$x_1 + x_2=-a$，$x_1x_2=b - c$，则$|x_1 - x_2|^{2}=(x_1 + x_2)^{2}-4x_1x_2=a^{2}-4(b - c)=4c = 16$，所以$c = 4$，故选CD。

11. [2023扬州中学高一月考]已知关于$x$的方程$x^{2} + (m - 3)x + m = 0$,下列结论正确的是 ( )
A. 方程$x^{2} + (m - 3)x + m = 0$有实数根的充要条件是$m\in\{m|m ＜ 1$或$m ＞ 9\}$
B. 方程$x^{2} + (m - 3)x + m = 0$有两正实数根的充要条件是$m\in\{m|0 ＜ m\leq1\}$
C. 方程$x^{2} + (m - 3)x + m = 0$无实数根的必要条件是$m\in\{m|m ＞ 1\}$
D. 当$m = 3$时,方程的两实数根之和为0

答案： BC：$A(\times)$若$x^{2}+(m - 3)x + m = 0$有实数根，则$\Delta=(m - 3)^{2}-4m\geq0$，得$m\leq1$或$m\geq9$；$B(\surd)$由题意得$\begin{cases}\Delta=(m - 3)^{2}-4m\geq0 \\3 - m ＞ 0 \\m ＞ 0\end{cases}$，解得$0 ＜ m\leq1$；$C(\surd)$若$x^{2}+(m - 3)x + m = 0$无实数根，则$\Delta=(m - 3)^{2}-4m ＜ 0$，得$1 ＜ m ＜ 9$，$\{m|1 ＜ m ＜ 9\}\subseteq\{m|m ＞ 1\}$；$D(\times)$当$m = 3$时，方程为$x^{2}+3 = 0$，无实数根，故选BC。