《2025年金考卷名师名题单元双测卷数学必修第一册人教版B》

7.［2023东北育才学校高一期末］若关于$x$的方程$\frac{2x + k}{x^{2}-x}=\frac{x - 1}{x}$的解集中只含有一个元素，则满足条件的实数$k$的取值集合为( )
A. $\{ - 3 , - 2 , 1\}$
B. $\{ - 2 , 0\}$
C. $\{ \pm 3 , 2\}$
D. $\{1\}$

答案： A 显然 $x\neq0$，且 $x\neq1$，原方程变形得 $2x + k=(x - 1)^{2}$，即 $x^{2}-4x + 1 - k = 0$ ①。将 $x = 0$ 代入①式，得 $k = 1$，则原方程的解集为 $\{4\}$；将 $x = 1$ 代入①式，得 $k=-2$，则原方程的解集为 $\{3\}$；若 $\Delta = 0$，此时 $k=-3$，则原方程的解集为 $\{2\}$。所以实数 $k$ 的取值集合为 $\{-3,-2,1\}$。故选 A。

8.［2024潍坊一中模拟］已知函数$f(x)=\sqrt{|x - 2a|}+\sqrt{|x|}$，若关于$x$的方程$f(x)=b$恰有三个不同的实数根$x_{1},x_{2},x_{3}$，且$x_{1}＜x_{2}＜x_{3}=b$(其中$a , b\in(0 , +\infty)$)，则$b - a$的值为( )
A. $-\frac{80}{81}$
B. $\frac{16}{9}$
C. $\frac{80}{81}$
D. $\frac{208}{81}$

答案： C 函数图象的对称性 + 方程的根 思路导引 先确定函数 $f(x)$ 图象的对称性，然后根据函数图象的对称性确定根，从而列出关于 $a,b$ 的方程组，解方程组即可求解。 因为 $f(x + 2a)=\sqrt{|x + 2a-2a|}+\sqrt{|x + 2a|}=\sqrt{| - x - 2a|}+\sqrt{| - x|}=f(-x)$，所以 $f(x)$ 的图象关于 $x = a$ 对称，所以 $f(x)=b$ 的根应对出现，又因为关于 $x$ 的方程 $f(x)=b$ 恰有三个不同的实数根 $x_{1},x_{2},x_{3}$ 且 $x_{1}＜x_{2}＜x_{3}=b$，所以该方程的一个根是 $a$，得 $x_{1}=2a - b$，$x_{2}=a$，$x_{3}=b$，所以 $\begin{cases}f(a)=\sqrt{a}+\sqrt{a}=2\sqrt{a}=b\\f(b)=\sqrt{|b - 2a|}+\sqrt{b}=b\end{cases}$，由 $f(a)=2\sqrt{a}=b$ 得 $b^{2}=4a$。当 $b - 2a\geq0$，即 $0 ＜ b\leq2$ 时，$f(b)=\sqrt{b - 2a}+\sqrt{b}=b$ ①，则 $\sqrt{b - 2a}-\sqrt{b}=\frac{-2a}{\sqrt{b - 2a}+\sqrt{b}}=\frac{-2a}{b}=-\frac{b}{2}$ ②，① - ②可得 $b=\frac{16}{9}$，所以 $a=\frac{64}{81}$；当 $b - 2a＜0$，即 $b＞2$ 时，$f(b)=\sqrt{2a - b}+\sqrt{b}=b$ ③，$\sqrt{2a - b}-\sqrt{b}=\frac{2a - 2b}{\sqrt{2a - b}+\sqrt{b}}=\frac{2a - 2b}{b}=\frac{b}{2}-2$ ④，③ - ④得 $b = 4$，所以 $a = 4$，不符合题意。综上，得 $\begin{cases}a=\frac{64}{81}\\b=\frac{16}{9}\end{cases}$，所以 $b - a=\frac{16}{9}-\frac{64}{81}=\frac{80}{81}$。故选 C。

9.［2024南通一中月考］下列函数中，有零点且能用二分法求零点的近似值的是( )
A. $y=\frac{2}{x}-3$
B. $y=\begin{cases}-x + 1,x\geq0\\x + 1,x ＜ 0\end{cases}$
C. $y = x^{2}-3x + 3$
D. $y = |x - 2|$

答案： AB A(√) 当 $x = 1$ 时，$y=\frac{2}{1}-3=-1＜0$，当 $x=\frac{1}{2}$ 时，$y=\frac{2}{\frac{1}{2}}-3 = 1＞0$，所以能用二分法求零点的近似值。B(√) 当 $x = 2$ 时，$y=-2 + 1=-1＜0$，当 $x=\frac{1}{2}$ 时，$y=-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{2}＞0$，所以能用二分法求零点的近似值。C(×) $y = x^{2}-3x + 3=(x-\frac{3}{2})^{2}+\frac{3}{4}＞0$，故不能用二分法求零点的近似值。D(×) $y = |x - 2|\geq0$，故不能用二分法求零点的近似值。故选 AB。

10.［2024南航附属高级中学高一期中］已知函数$f(x)=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}-\frac{17}{4}$，则下列说法正确的是( )
A. $f(x)$的定义域是$\{x|x\neq0\}$
B. $f(x)$的最小值是$-\frac{9}{4}$
C. $f(x)$无零点
D. $f(x)＞0$的解集是$(-\infty,-2)\cup(-\frac{1}{2},0)\cup(0,\frac{1}{2})\cup(2,+\infty)$

答案： ABD A(√) 由分母不为零可知，函数 $f(x)$ 的定义域为 $\{x|x\neq0\}$；B(√) $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}-\frac{17}{4}\geq2\sqrt{x^{2}\cdot\frac{1}{x^{2}}}-\frac{17}{4}=-\frac{9}{4}$，当且仅当 $x^{2}=1$ 时等号成立，则函数 $f(x)$ 的最小值为 $-\frac{9}{4}$；C(×) 令 $f(x)=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}-\frac{17}{4}=\frac{4x^{4}-17x^{2}+4}{4x^{2}}=\frac{(4x^{2}-1)(x^{2}-4)}{4x^{2}} = 0$，解得 $x=\pm\frac{1}{2}$ 或 $x=\pm2$，所以 $f(x)$ 有四个零点；D(√) $f(x)＞0$，即 $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}-\frac{17}{4}＞0$，即 $\begin{cases}(4x^{2}-1)(x^{2}-4)＞0\\x^{2}\neq0\end{cases}$，所以 $0＜x^{2}＜\frac{1}{4}$ 或 $x^{2}＞4$，解得 $x＜-2$ 或 $-\frac{1}{2}＜x＜0$ 或 $0＜x＜\frac{1}{2}$ 或 $x＞2$。故选 ABD。

11.［2023信阳高级中学高一阶段练习］已知函数$f(x)=\begin{cases}x^{2}-4x + 3,x\geq0\\\frac{1}{x}+2,x ＜ 0\end{cases}$.若存在$x_{1}＜x_{2}＜x_{3}$，使得$f(x_{1}) = f(x_{2}) = f(x_{3}) = t$，则下列结论正确的有( )
A. $x_{2}+x_{3}=4$
B. $x_{2}x_{3}$的最大值为4
C. $t$的取值范围是$( - 1 , 3]$
D. $x_{1}+x_{2}+x_{3}$的取值范围是$(-\infty,\frac{11}{3})$

答案：
AD 如图，
作出函数 $f(x)$ 的图象。A(√)B(×) 根据 $x_{1}＜x_{2}＜x_{3}$，可知，$x_{2},x_{3}$ 是直线 $y = t$ 与 $y = x^{2}-4x + 3,x\geq0$ 图象的两个交点，根据对称性可知 $x_{2}+x_{3}=4$，则 $x_{2}x_{3}\leq(\frac{x_{2}+x_{3}}{2})^{2}=4$，因为 $x_{2}\neq x_{3}$，所以 $x_{2}x_{3}＜4$；C(×) $x\geq0$ 时，$y = x^{2}-4x + 3=(x - 2)^{2}-1\geq - 1$，$x＜0$ 时，$y=\frac{1}{x}+2＜2$，并结合图可知 $t$ 的取值范围是 $( - 1,2)$；D(√) 因为 $\frac{1}{x_{1}}+2＞-1$，所以 $x_{1}＜-\frac{1}{3}$，又 $x_{2}+x_{3}=4$，则 $x_{1}+x_{2}+x_{3}$ 的取值范围是 $(-\infty,\frac{11}{3})$。故选 AD。