《2025年金考卷名师名题单元双测卷数学必修第一册人教版B》

19.(17分)(思维创新)对于两个实数$a$，$b$，规定$a * b = |a - b|$.
(1)证明：关于$x$的不等式$x * 2 + x * 3\geq1$的解集为$\mathbf{R}$；
(2)设关于$x$的不等式$x * a ＜ \frac{-ax^{2} + 20}{2}$的解集为$A$，且$( - 2,3)\subseteq A$，求自然数$a$的所有取值.

答案： 【解析】
(1) 不等式 $x*2 + x*3\geqslant1$ 可化为 $|x - 2|+|x - 3|\geqslant1$。（1 分）当 $x＞3$ 时，不等式可化为 $(x - 2)+(x - 3)=2x - 5\geqslant1$，解得 $x\geqslant3$，所以 $x＞3$；（2 分）当 $2\leqslant x\leqslant3$ 时，不等式可化为 $(x - 2)+(3 - x)=1\geqslant1$，恒成立，所以 $2\leqslant x\leqslant3$；（3 分）当 $x＜2$ 时，不等式可化为 $-(x - 2)-(x - 3)=-2x + 5\geqslant1$，解得 $x\leqslant2$，所以 $x＜2$。（4 分）综上所述，关于 $x$ 的不等式 $x*2 + x*3\geqslant1$ 的解集为 $\mathbf{R}$。（5 分）
(2) 不等式 $x*a＜\frac{-ax^{2}+20}{2}$ 即 $|x - a|＜\frac{-ax^{2}+20}{2}$，也即 $ax^{2}+2|x - a|-20＜0$，（6 分）当 $a = 0$ 时，$2|x|＜20$，解得 $-10＜x＜10$，$A=(-10,10)$，满足 $(-2,3)\subseteq A$。（7 分）当 $a\neq0$ 时，因为 $a＞0$，$a\in\mathbf{N}$，$(-2,3)\subseteq A$，所以 $\begin{cases}4a + 2|a + 2|-20\leqslant0\\9a + 2|3 - a|-20\leqslant0\end{cases}$，即 $\begin{cases}6a\leqslant16\\2|3 - a|\leqslant20 - 9a\end{cases}$，解得 $a = 1$ 或 $a = 2$。（10 分）当 $a = 1$ 时，$ax^{2}+2|x - a|-20＜0$ 即 $x^{2}+2|x - 1|-20＜0$，当 $x\geqslant1$ 时，$x^{2}+2(x - 1)-20=x^{2}+2x - 22=(x + 1)^{2}-23＜0$，所以 $1\leqslant x＜\sqrt{23}-1$；当 $x＜1$ 时，$x^{2}+2(1 - x)-20=x^{2}-2x - 18=(x - 1)^{2}-19＜0$，所以 $-\sqrt{19}+1\leqslant x＜1$，$A=(-\sqrt{19}+1,\sqrt{23}-1)$，满足 $(-2,3)\subseteq A$。（13 分）当 $a = 2$ 时，$ax^{2}+2|x - a|-20＜0$ 即 $2x^{2}+2|x - 2|-20＜0$，当 $x\geqslant2$ 时，$2x^{2}+2(x - 2)-20=2x^{2}+2x - 24=2(x+\frac{1}{2})^{2}-\frac{1}{2}-24＜0$，所以 $2\leqslant x＜3$，当 $x＜2$ 时，$2x^{2}+2(2 - x)-20=2x^{2}-2x - 16=2(x-\frac{1}{2})^{2}-\frac{1}{2}-16＜0$，所以 $\frac{1-\sqrt{33}}{2}＜x＜2$，$A=(\frac{1-\sqrt{33}}{2},3)$，满足 $(-2,3)\subseteq A$。（16 分）综上，$a = 0$ 或 $a = 1$ 或 $a = 2$。（17 分）