《2025年金考卷名师名题单元双测卷数学必修第一册人教版B》

7. [2023南通中学模拟]已知$P,Q$为$\mathbf{R}$的两个非空真子集，若$\complement_{\mathbf{R}}Q\subsetneqq\complement_{\mathbf{R}}P$，则下列结论正确的是 ( )
A. $\forall x\in Q,x\in P$
B. $\exists x\in \complement_{\mathbf{R}}P,x\in \complement_{\mathbf{R}}Q$
C. $\exists x\notin Q,x\in P$
D. $\forall x\in \complement_{\mathbf{R}}P,x\in \complement_{\mathbf{R}}Q$

答案：
B：列表解析·直观解疑惑 因为∁RQ⊊∁RP，所以P⊊Q（题眼），用维恩图表示如图所示。 !根据题意，逐项分析如下： |选项|正误|原因| | ---- | ---- | ---- | |A|×|因为P是Q的真子集，所以∃x∈Q, x∉P| |B|√|因为∁RQ是∁RP的真子集且∁RQ, ∁RP都不是空集，所以∃x∈∁RP, x∈∁RQ| |C|×|因为P是Q的真子集，所以∀x∉Q, x∉P| |D|×|因为∁RQ是∁RP的真子集，所以∃x∈∁RP, x∉∁RQ|

8. [2024福建省漳州市高一期末]已知$a,b\in \mathbf{R}$，则“$ab = 0$”的一个充分条件是 ( )
A. $a - b = 0$
B. $a + b = 0$
C. $a^{2}-b^{2}=0$
D. $a^{2}+b^{2}=0$

答案： D：A(×)a - b = 0即a = b，因为a, b∈R，所以ab = 0不一定成立；B(×)a + b = 0即a = - b，因为a, b∈R，所以ab = 0不一定成立；C(×)a² - b² = 0即|a| = |b|，因为a, b∈R，所以ab = 0不一定成立；D(√)a² + b² = 0即$\begin{cases}a = 0 \\ b = 0\end{cases}$，则ab = 0成立。故选D。

9. [2024玉林十一中高一月考]已知$p$是$r$的充分不必要条件，$q$是$r$的充分条件，$s$是$r$的充要条件，$q$是$s$的必要条件，则 ( )
A. $q$是$s$的充要条件
B. $p$是$s$的充分不必要条件
C. $q$是$s$的充分不必要条件
D. $p$是$s$的充要条件

答案： AB：因为p是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，所以p⇒r, r⇏p, q⇒r。因为s是r的充要条件，所以s⇔r。因为q是s的必要条件，所以s⇒q。综上可得，q⇒r⇒s⇒q, p⇒r⇒s，但s⇔r⇏p，即q是s的充要条件，p是s的充分不必要条件，故A, B正确，C, D错误。故选AB。

10. (学科综合) [2023东北育才学校高一开学考试]设计如图所示的四个电路图，$p$：“开关$\mathrm{S}$闭合”，$q$：“灯泡$\mathrm{L}$亮”，则$p$是$q$的充要条件的电路图是 ( )

答案： BD：A(×)A中电路图，开关S闭合，灯泡L亮，而灯泡L亮，开关S不一定闭合，故A中p是q的充分不必要条件；B(√)B中电路图，开关S闭合，灯泡L亮，且灯泡L亮，则开关S闭合，故B中p是q的充要条件；C(×)C中电路图，开关S闭合，灯泡L不一定亮，灯泡L亮，则开关S一定闭合，故C中p是q的必要不充分条件；D(√)D中电路图，开关S闭合，则灯泡L亮，灯泡L亮，则开关S闭合，故D中p是q的充要条件。故选BD。

11. (探索创新) [2023邢台一中月考]取整函数：$[x]=$不超过$x$的最大整数，如$[1.2]=1$，$[3.9]=3$，$[-1.5]= - 2$，以下是真命题的有 ( )
A. $\forall x\in \mathbf{R},[2x]=2[x]$
B. $\forall x,y\in \mathbf{R},[x]=[y]$，则$x - y ＜ 1$
C. $\exists x\in \mathbf{R},[2x]=2[x]$
D. $\forall x,y\in \mathbf{R},[x + y]\leq[x]+[y]$

答案： BC：A(×)x = 1.5时，[2x] = [3] = 3，但2[x] = 2[1.5] = 2×1 = 2，故A为假命题；B(√)设[x] = [y] = k∈Z，则k≤x ＜ k + 1, k≤y ＜ k + 1,
∴ x - y ＜ 1，故B为真命题；C(√)x = 2时，[2x] = [4] = 4 = 2[2] = 2[x]，故C为真命题；D(×)x = 0.5, y = 0.6时，有[x] + [y] = 0，但[x + y] = [1.1] = 1 ＞ [x] + [y]，故D为假命题。故选BC。