《2025年金考卷名师名题单元双测卷数学必修第一册人教版B》

14.[2023苏州中学高一期末]调查显示，垃圾分类投放可以带来约0.34元/kg的经济效益.为激励居民垃圾分类，某市准备给每个家庭发放一张积分卡，每分类投放1 kg积分1分，若一个家庭一个月内垃圾分类投放总量不低于100 kg，则额外奖励x(x为正整数)分.月底积分会按照0.1元/分进行自动兑换.
①当x = 10时，若某家庭某月垃圾分类投放总量为120 kg，该家庭该月积分能兑换________元；
②为了保证每个家庭每月积分兑换的金额均不超过当月垃圾分类投放带来的收益的40%，则x的最大值为________.(本题第一空2分，第二空3分)

答案： ①若某家庭某月垃圾分类投放总量为120 kg，则该家庭月底的积分为$120 + 10 = 130$（分），故该家庭该月积分能兑换$130\times0.1 = 13$（元）. ②设每个家庭每月垃圾分类投放总量为$t$ kg，$t\in N^*$，每个家庭每月积分能兑换的金额为$f(t)$元. 若$0\leq t\lt100$，则$f(t)=0.1t\lt0.34t\times0.4 = 0.136t$恒成立； 若$t\geq100$，则$f(t)=0.1t + 0.1x$，由$f(t)\leq0.34t\times0.4$，可得$x\leq(0.36t)_{min}=36$.故$x$的最大值为36.

15.(13分)[2024上海师范大学附中高一期中]某园林建设公司计划购买一批机器投入施工.据分析，这批机器可获得的利润y(单位：万元)与运转时间x(单位：年)的函数解析式为y = -x² + 12x - 9(x≤11，且x∈N*).
(1)当这批机器运转第几年时，可获得最大利润？最大利润为多少？
(2)当运转多少年时，这批机器的年平均利润最大？

答案：
(1)$y = -x^{2}+12x - 9=-(x - 6)^{2}+27$， 因为$x\leq11$，且$x\in N$，所以当$x = 6$时，$y = -x^{2}+12x - 9$取得最大值， 故这批机器运转第6年时，可获得最大利润，最大利润为27万元.
(2)设年平均利润为$w$万元， 因为$x\leq11$，且$x\in N^*$，则$w=\frac{y}{x}=-x-\frac{9}{x}+12=12-(x+\frac{9}{x})\leq12 - 2\sqrt{x\cdot\frac{9}{x}}=6$， 当且仅当$x=\frac{9}{x}$，即$x = 3$时，等号成立， 故当运转3年时，这批机器的年平均利润最大.