《2025年金考卷名师名题单元双测卷数学必修第一册人教版B》

9. [2023株洲二中高一开学考试]下列不等式不一定成立的是 ( )
A. $x+\frac{1}{x}\geqslant2$
B. $\frac{x^{2}+2}{\sqrt{x^{2}+2}}\geqslant\sqrt{2}$
C. $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\geqslant2$
D. $2 - 3x-\frac{4}{x}\geqslant2$

答案： 对于选项 A，当 $x ＜ 0$ 时，$x+\frac{1}{x}＜0＜2$，故 A 不一定成立；对于选项 B，$\frac{x^{2}+2}{\sqrt{x^{2}+2}}=\sqrt{x^{2}+2}\geqslant\sqrt{2}$，故 B 一定成立；对于选项 C，$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\geqslant2\sqrt{x^{2}\cdot\frac{1}{x^{2}}}=2$，当且仅当 $x=\pm1$ 时等号成立，故 C 一定成立；对于选项 D，可变形为 $3x+\frac{4}{x}\leqslant0$，当 $x$ 取正数时不成立，故 D 不一定成立。故选 AD。

10. [2023大庆中学模拟]已知$a ＞ 0,b ＞ 0$，且$2a + b = 1$，若不等式$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}\geqslant m$恒成立，则$m$的值可以为 ( )
A. 10
B. 9
C. 8
D. 7

答案： 由 $a ＞ 0$，$b ＞ 0$，且 $2a + b = 1$，可得 $\frac{2}{a}+\frac{1}{b}=(\frac{2}{a}+\frac{1}{b})(2a + b)=5+\frac{2b}{a}+\frac{2a}{b}\geqslant5 + 2\sqrt{\frac{2b}{a}\times\frac{2a}{b}}=9$，当且仅当 $\frac{2b}{a}=\frac{2a}{b}$，即 $a = b=\frac{1}{3}$ 时，等号成立，又因为不等式 $\frac{2}{a}+\frac{1}{b}\geqslant m$ 恒成立，所以 $m\leqslant9$，结合选项，可得选项 B，C，D 符合题意。故选 BCD。

11. (探索创新)[2024雅礼中学高一月考]设$a,b$为两个正数，定义$a,b$的算术平均数为$A(a,b)=\frac{a + b}{2}$，几何平均数为$G(a,b)=\sqrt{ab}$，则有$G(a,b)\leqslant A(a,b)$，这是我们熟知的均值不等式.上个世纪五十年代，美国数学家D. H. Lehmer提出了“Lehmer均值”，即$L_{p}(a,b)=\frac{a^{p}+b^{p}}{a^{p - 1}+b^{p - 1}}$，其中$p$为有理数.则下列关系正确的是 ( )
A. $L_{0.5}(a,b)\leqslant A(a,b)$
B. $L_{0}(a,b)\geqslant G(a,b)$
C. $L_{2}(a,b)\geqslant L_{1}(a,b)$
D. $L_{n + 1}(a,b)\leqslant L_{n}(a,b)$

答案： $A(\vee)L_{0.5}(a,b)=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}}=\sqrt{ab}\leqslant\frac{a + b}{2}=A(a,b)$，当且仅当 $a = b$ 时，等号成立；$B(\times)L_{0}(a,b)=\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}=\frac{2ab}{a + b}\leqslant\frac{2ab}{2\sqrt{ab}}=\sqrt{ab}=G(a,b)$，当且仅当 $a = b$ 时，等号成立；$C(\vee)L_{2}(a,b)=\frac{a^{2}+b^{2}}{a + b}=\frac{a^{2}+b^{2}+a^{2}+b^{2}}{2(a + b)}\geqslant\frac{a^{2}+b^{2}+2ab}{2(a + b)}=\frac{(a + b)^{2}}{2(a + b)}=\frac{a + b}{2}=L_{1}(a,b)$，当且仅当 $a = b$ 时，等号成立；$D(\times)$ 当 $n = 1$ 时，由 C 可知，$L_{2}(a,b)\geqslant L_{1}(a,b)$。故选 AC。