《2025年金考卷名师名题单元双测卷数学必修第一册人教版B》

18.(17分)(探索创新)[2024华东师大二附中高一月考]已知关于$x$的一元二次方程$kx^{2}-2(3k - 1)x + 9k - 1 = 0$.
(1)若上述方程的两根都是正数，求实数$k$的取值范围；
(2)是否存在上述方程的两根恰有一个是正数，且$k$为整数？如果存在，直接写出实数$k$的取值；如果不存在，说明理由.

答案： 【解析】 （1）由题意得$k\neq0$，设此方程的两实数根分别为$x_{1}$，$x_{2}$， 由$\Delta = 4(3k - 1)^{2}-4k(9k - 1)=4(-5k + 1)\geq0$（保证有两根），解得$k\leq\frac{1}{5}$。（3分） 由题意得$x_{1}x_{2}＞0$（保证两根同号），$x_{1}+x_{2}＞0$（保证两根同正）， 所以结合根与系数的关系可得$\begin{cases}\frac{9k - 1}{k}＞0\\\frac{2(3k - 1)}{k}＞0\\k\leq\frac{1}{5}\end{cases}$，解得$k＜0$。 所以实数$k$的取值范围是$\{k|k＜0\}$。（8分） （2）不存在。 理由如下： 方程的两根恰有一个是正数，则$\Delta = 4(3k - 1)^{2}-4k(9k - 1)=4(-5k + 1)＞0$，解得$k＜\frac{1}{5}$。（11分） 又$k\neq0$，$k\in\mathbf{Z}$，则可知$k＜0$，此时$x_{1}x_{2}=\frac{9k - 1}{k}＞0$， 即$x_{1}$，$x_{2}$同号，不合题意， 所以符合条件的$k$不存在。（17分）