《2025年金考卷名师名题单元双测卷数学必修第一册人教版B》

16. (15分)[2024山东省实验中学高一月考]已知$a ＞ 0,b ＞ 0$.
(1)若$a - b = 4$，证明：$a+\frac{4}{b + 1}\geqslant7$；
(2)若$a^{2}+9b^{2}+3ab = 27$，求$a + 3b$的最大值.

答案： 【解析】 （1）因为 $a - b = 4$，所以 $a = b + 4$，又 $a ＞ 0$，$b ＞ 0$，所以 $b + 1 ＞ 1$，要证 $a+\frac{4}{b + 1}\geqslant7$，即证 $b + 4+\frac{4}{b + 1}\geqslant7$，即证 $b + 1+\frac{4}{b + 1}\geqslant4$，而 $b + 1+\frac{4}{b + 1}\geqslant2\sqrt{(b + 1)\cdot\frac{4}{b + 1}} = 4$，当且仅当 $b + 1=\frac{4}{b + 1}$，即 $b = 1$ 时等号成立，所以原命题得证。（7 分） （2）因为 $a^{2}+9b^{2}+3ab = 27$，所以 $(a + 3b)^{2}-3ab = 27$，则 $(a + 3b)^{2}-27 = 3ab$，又 $(a + 3b)^{2}-27 = 3ab\leqslant(\frac{a + 3b}{2})^{2}$，当且仅当 $a = 3b = 3$ 时等号成立，即 $(a + 3b)^{2}\leqslant36$，所以 $-6\leqslant a + 3b\leqslant6$，显然 $a + 3b ＞ 0$，所以 $0 ＜ a + 3b\leqslant6$，当且仅当 $a = 3b = 3$ 时等号成立，即 $a + 3b$ 的最大值为 6。（15 分）

17. (15分)[2023濮阳油田一中月考]已知$a,b,c$均为正数，且$2a + b + c = 1$.证明：
(1)若$b = c$，则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geqslant8$；
(2)$2ab + 2ac + bc\leqslant\frac{1}{3}$.

答案： 【解析】 （1）因为 $b = c$，所以 $2a + 2b = 1$，又 $a,b$ 均为正数，则 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})(2a + 2b)=4+\frac{2b}{a}+\frac{2a}{b}\geqslant4 + 2\sqrt{\frac{2b}{a}\times\frac{2a}{b}}=8$，当且仅当 $a = b=\frac{1}{4}$ 时，等号成立。（7 分） （2）由均值不等式可得 $4a^{2}+b^{2}\geqslant4ab$，当且仅当 $b = 2a$ 时等号成立，$4a^{2}+c^{2}\geqslant4ac$，当且仅当 $c = 2a$ 时等号成立，$c^{2}+b^{2}\geqslant2bc$，当且仅当 $b = c$ 时等号成立，所以三个式子相加可得 $4a^{2}+b^{2}+c^{2}\geqslant2ab + bc + 2ac$，当且仅当 $b = c = 2a$ 时等号成立。所以 $(2a + b + c)^{2}=4a^{2}+b^{2}+c^{2}+4ab + 2bc + 4ac\geqslant6ab + 3bc + 6ac$，又 $2a + b + c = 1$，所以 $2ab + bc + 2ac\leqslant\frac{1}{3}$，当且仅当 $a=\frac{1}{6}$，$b = c=\frac{1}{3}$ 时等号成立。（15 分）