《2025年金考卷名师名题单元双测卷数学必修第一册人教版B》

19. (17分)[2023华东师大二附中高一检测]已知函数$f(x)=\frac{1}{\sqrt{ax^{2}+ax + 1}}$.
(1)若$f(x)$的定义域是$\mathbf{R}$，求实数$a$的取值范围；
(2)若$f(x)$的值域是$(0,+\infty)$，求实数$a$的取值范围.

答案： 由函数定义域、值域求参 　思路导引　
(1)根据题意得ax²+ax+1＞0恒成立,分 　a=0,a≠0两种情况进行讨论即可;
(2)令y=ax²²+ax+ 　1,根据题意得(0,+o)为y=ax²+ax+1值域的子集, 　分a=0,a＜0,a＞0三种情况进行讨论即可. [解析]　
(1)由题知，f(x)=$\sqrt{ax²+ax+1}$1　　　的定义域是R,所以ax²+ax+1＞0恒成立.　　　　　　　　　　　　(2分) 当a=0时,1＞0恒成立; 当a≠0时,应满足{aα²＞−04a＜0,解得0＜a＜4. 综上可得0≤a＜4,即实数α的取值范围为[0,4),　　(8分)
(2)由题知∮(x)=$\sqrt{ax²+ax+1}$1　　　的值域是(0,+∞), 令y=ax²+ax+1,则(0,+∞)为y=ax²+ax+1值域的子集　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(10分) 当a=0时,y=1,不满足题意;　　　　　　　　　　(11分) 当a＜0时,y=αx²+ax+1的图象开口向下,不满足题意; 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(13分) 当a＞0时,应满足{Aa＞=0a²−4a≥0,解得α≥4.　　　(16分) 综上可得a≥4,即实数a的取值范围为[4，+∞)　　　(17分)