《2025年金考卷名师名题单元双测卷数学必修第一册人教版B》

17. (15分)(情境创新)[2024成都外国语学校高一期末]如图所示,一条笔直的河流$l$(忽略河的宽度)两侧各有一个社区$A,B$(忽略社区的大小),$A$社区距离$l$上最近的点$A_{0}$的距离是2 km,$B$社区距离$l$上最近的点$B_{0}$的距离是1 km,且$A_{0}B_{0} = 4$ km. 点$P$是线段$A_{0}B_{0}$上一点,设$A_{0}P = a$ km.

现规划了如下三项工程:
工程1:在点$P$处修建一座造价0.1亿元的人行观光天桥;
工程2:将直角三角形$AA_{0}P$地块全部修建为面积至少1 km² 的文化主题公园,且每平方千米造价为$(1 + \frac{9}{2a^{2}})$亿元;
工程3:将直角三角形$BB_{0}P$地块全部修建为面积至少0.25 km² 的湿地公园,且每平方千米造价为1亿元.
记这三项工程的总造价为$W$亿元.
(1)求实数$a$的取值范围;
(2)问点$P$在何处时,$W$最小,并求出该最小值.

答案： 【解析】
(1) 因为直角三角形$BB_0P$地块全部修建为面积至少$0.25 km^{2}$的湿地公园，所以$S_{\triangle BB_0P}=\frac{1}{2}\times B_0P\times BB_0=\frac{1}{2}\times1\times(4 - a)\geq0.25$，解得$a\leq\frac{7}{2}$。直角三角形$AA_0P$地块全部修建为面积至少$1 km^{2}$的文化主题公园，所以$S_{\triangle AA_0P}=\frac{1}{2}\times A_0P\times AA_0=\frac{1}{2}\times2\times a\geq1$，解得$a\geq1$。故实数$a$的取值范围为$\{a|1\leq a\leq\frac{7}{2}\}$。
(2) 依题意可得$W=(1+\frac{9}{2a^{2}})\cdot a + 1\times\frac{4 - a}{2}+0.1=a+\frac{9}{2a}+\frac{4 - a}{2}+0.1=\frac{a}{2}+\frac{9}{2a}+2.1\geq2\sqrt{\frac{a}{2}\cdot\frac{9}{2a}}+2.1=2\times\frac{3}{2}+2.1 = 5.1$，当且仅当$\frac{a}{2}=\frac{9}{2a}$，即$a = 3$时取等号。所以当点$P$满足$A_0P = 3 km$时，$W$最小，最小值为$5.1$亿元。