《2025年金考卷名师名题单元双测卷数学必修第一册人教版B》

8.(综合运用)[2024南昌二中高一月考]设$x^{2}-px + q = 0$的两实根为$\alpha,\beta$，而以$\alpha^{2},\beta^{2}$为两根的一元二次方程仍是$x^{2}-px + q = 0$，则数对$(p,q)$组成的集合$M$的真子集的个数是 ( )
A. 7
B. 8
C. 15
D. 16

答案： 根据题意得，$\alpha+\beta = p$ ①，$\alpha\beta = q$ ②，$\alpha^{2}+\beta^{2}=p$ ③，$\alpha^{2}\beta^{2}=q$ ④，由②④可得$\alpha^{2}\beta^{2}-\alpha\beta = 0$，解得$\alpha\beta = 1$或$\alpha\beta = 0$，即$q = 1$或$q = 0$。由①②③可得$\alpha^{2}+\beta^{2}=(\alpha+\beta)^{2}-2\alpha\beta=p^{2}-2q=p$，即$p^{2}-p = 2q$。当$q = 0$时，$p^{2}-p = 0$，解得$p = 0$或$p = 1$，即$\begin{cases}p_{1}=0\\q_{1}=0\end{cases}$或$\begin{cases}p_{2}=1\\q_{2}=0\end{cases}$，把它们代入原方程的判别式中可知符合题意；当$q = 1$时，$p^{2}-p - 2 = 0$，解得$p = - 1$或$p = 2$，即$\begin{cases}p_{3}=2\\q_{3}=1\end{cases}$或$\begin{cases}p_{4}=-1\\q_{4}=1\end{cases}$，把它们代入原方程的判别式中可知$\begin{cases}p_{4}=-1\\q_{4}=1\end{cases}$不合题意，舍去。所以数对$(p,q)$组成的集合$M$的元素个数是3，所以数对$(p,q)$组成的集合$M$的真子集的个数是$2^{3}-1 = 7$。故选A。

9. [2024扬中市第二高级中学高一期初]若$x^{3}+a^{3}=(x + a)(x^{2}-ax + 9)$对任意实数$x$都成立，则实数$a$可能的值是 ( )
A. -9
B. 9
C. -3
D. 3

答案： 因为$x^{3}+a^{3}=(x + a)(x^{2}-ax + a^{2})$，所以$x^{3}+a^{3}=(x + a)\cdot(x^{2}-ax + 9)$对任意实数$x$都成立即为$(x + a)(x^{2}-ax + a^{2})=(x + a)(x^{2}-ax + 9)$对任意实数$x$都成立，所以$x^{2}-ax + a^{2}=x^{2}-ax + 9$，即$a^{2}=9$，故$a=\pm3$，故选CD。

10. [2024六安一中高一期末]已知$a,b,c,d\in\mathbf{R}$，则下列结论正确的有 ( )
A. 若$a＞b＞0,ac＞bd＞0$，则$c＞d$
B. 若$\frac{1}{a}＜\frac{1}{b}$，则$a＞b$
C. 若$ac^{2}＞bc^{2}$，则$a＞b$
D. 若$\frac{1}{a^{2}b}＞\frac{1}{ab^{2}}$，则$a＜b$

答案： A（×）$a = 3$，$c = 1$，$b = 1$，$d = 2$满足$a＞b＞0$，$ac＞bd＞0$，但$c＜d$；B（×）$a = - 1$，$b = 1$满足$\frac{1}{a}＜\frac{1}{b}$，但$a＜b$；C（√）由$ac^{2}＞bc^{2}$可得$c^{2}\neq0$，则$a＞b$；D（√）$\frac{1}{a^{2}b}＞\frac{1}{ab^{2}}\Rightarrow\frac{1}{a^{2}b}-\frac{1}{ab^{2}}=\frac{b - a}{a^{2}b^{2}}＞0\Rightarrow b - a＞0\Rightarrow a＜b$。故选CD。

11. [2023襄阳四中高一期末]已知关于$x$的不等式$ax^{2}+bx + c\leq0$的解集是$\{x|x\leq -2或x\geq6\}$，则下列说法正确的是 ( )
A. $a＜0$
B. 不等式$bx + c＞0$的解集是$\{x|x ＜ -3\}$
C. 不等式$cx^{2}-bx + a＜0$的解集是$\{x|-\frac{1}{6}＜x＜\frac{1}{2}\}$
D. $a + b + c＞0$

答案： A（√）因为关于$x$的不等式$ax^{2}+bx + c\leq0$的解集是$\{x|x\leq - 2或x\geq6\}$，所以$a＜0$；B（×）由题意可知，关于$x$的方程$ax^{2}+bx + c = 0$的两根分别为$x_{1}=-2$，$x_{2}=6$，由根与系数的关系可得$6 - 2=-\frac{b}{a}$，$-2\times6=\frac{c}{a}$，可得$b=-4a$，$c=-12a$，由$bx + c＞0$可得$-4ax - 12a＞0$，解得$x＞-3$；C（√）由$cx^{2}-bx + a＜0$可得$-12ax^{2}+4ax + a＜0$，即$12x^{2}-4x - 1＜0$，解得$-\frac{1}{6}＜x＜\frac{1}{2}$，因此，不等式$cx^{2}-bx + a＜0$的解集是$\{x|-\frac{1}{6}＜x＜\frac{1}{2}\}$；D（√）$a + b + c=-15a＞0$。故选ACD。

12. [2024上海二中高一期中]设$x\in\mathbf{R}$，则方程$|2x + 3|-|x - 2| = |3x + 1|$的解集为_________.

答案： $[-\frac{1}{3},2]$：当$x\leq-\frac{3}{2}$时，原式$\Leftrightarrow - 2x - 3 + x - 2=-3x - 1\Leftrightarrow x = 2$，不合题意；当$-\frac{3}{2}＜x\leq-\frac{1}{3}$时，原式$\Leftrightarrow2x + 3 + x - 2=-3x - 1\Leftrightarrow x=-\frac{1}{3}$；当$-\frac{1}{3}＜x\leq2$时，原式$\Leftrightarrow2x + 3 + x - 2=3x + 1\Leftrightarrow1 = 1$，即恒成立；当$x＞2$时，原式$\Leftrightarrow2x + 3 + 2 - x=3x + 1\Leftrightarrow x = 2$，不合题意。故$x\in[-\frac{1}{3},2]$。

13. [2024江西省赣州市高一期末]已知$-1＜x + y＜4,2＜x - y＜3$，则$x$的取值范围是________，$3x + 2y$的取值范围是________.(本题第一空2分，第二空3分)

答案： $(\frac{1}{2},\frac{7}{2})$ $(-\frac{3}{2},\frac{23}{2})$：$\because - 1＜x + y＜4$，$2＜x - y＜3$，$\therefore$两个不等式相加可得$1＜2x＜7$，解得$\frac{1}{2}＜x＜\frac{7}{2}$。设$3x + 2y=m(x + y)+n(x - y)=(m + n)x+(m - n)y$，$\therefore\begin{cases}m + n = 3\\m - n = 2\end{cases}$，解得$m=\frac{5}{2}$，$n=\frac{1}{2}$，$\because-\frac{5}{2}＜\frac{5}{2}(x + y)＜10$，$1＜\frac{1}{2}(x - y)＜\frac{3}{2}$，$\therefore$两个不等式相加可得$-\frac{3}{2}＜3x + 2y＜\frac{23}{2}$。

14. [2024河南省实验中学高一月考]某连锁酒店共有500间客房，若每间客房每天的定价是200元，则均可被租出；若每间客房每天的定价在200元的基础上提高$10x$元($1\leq x\leq10,x\in\mathbf{Z}$)，则被租出的客房会减少$15x$套.若要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106 600元，则该连锁酒店每间客房每天的定价应为________元.

答案： 依题意，每天有$(500 - 15x)$间客房被租出，该连锁酒店每天租赁客房的收入为$(500 - 15x)(200 + 10x)=-150x^{2}+2000x + 100000$。因为要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元，所以$-150x^{2}+2000x + 100000＞106600$，即$3x^{2}-40x + 132＜0$，解得$6＜x＜\frac{22}{3}$。因为$1\leq x\leq10$且$x\in\mathbf{Z}$，所以$x = 7$，即该连锁酒店每间客房每天的定价应为270元。