《2025年金考卷名师名题单元双测卷数学必修第一册人教版B》

19.(17分)(思维创新)[2023上海市崇明区高一期末]某公司拟投资开发一种新能源产品，估计公司能获取不低于100万元且不高于1 600万元的投资收益.该公司对科研课题组的奖励方案有如下三条要求：
①奖金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加；
②奖金不低于10万元且不超过200万元；
③奖金不超过投资收益的20%.
(1)设奖励方案函数模型为y = f(x)，我们可以用数学语言表述公司对奖励方案的要求，比如方案要求③“奖金不超过投资收益的20%”可以表述为“∀x∈[100，1 600]，$f(x)\leqslant\frac{x}{5}$恒成立”，请你用数学语言表述另外两条奖励方案的要求；
(2)判断函数$f(x)=\frac{x}{30}+30$是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由；
(3)已知函数$g(x)=a\sqrt{x}-45$符合公司奖励方案函数模型要求，则在该奖励方案函数模型前提下，科研课题组最多可以获取多少奖金？

答案：
(1)“奖金$y$（单位：万元）随投资收益$x$（单位：万元）的增加而增加”可以表述为“$y = f(x)$在$x\in[100,1600]$上是增函数”； “奖金不低于10万元且不超过200万元”可以表述为“$\forall x\in[100,1600]$，$f(x)\in[10,200]$”.
(2)函数$f(x)=\frac{x}{30}+30$不符合公司奖励方案函数模型的要求. 理由如下：函数$f(x)=\frac{x}{30}+30$在$x\in[100,1600]$上是增函数，$f(100)=\frac{100}{3}$，$f(1600)=\frac{250}{3}$， 函数$f(x)$的值域为$[\frac{100}{3},\frac{250}{3}]\subseteq[10,200]$，满足需求①和②； 由$f(x)\leq\frac{x}{5}$得$\frac{x}{30}+30\leq\frac{x}{5}$，解得$x\geq180$， 因此对$x\in[100,180)$，$f(x)\leq\frac{x}{5}$不成立， 即$\forall x\in[100,1600]$，不等式$f(x)\leq\frac{x}{5}$不恒成立，不满足要求③， 所以函数$f(x)=\frac{x}{30}+30$不符合公司奖励方案函数模型的要求.
(3)因为函数$g(x)=a\sqrt{x}-45$符合公司奖励方案函数模型要求，所以函数$g(x)$在$x\in[100,1600]$上是增函数，有$a\gt0$， $g(x)_{min}=g(100)=10a - 45\geq10$， $g(x)_{max}=g(1600)=40a - 45\leq200$， 所以$\frac{11}{2}\leq a\leq\frac{49}{8}$. 由$\forall x\in[100,1600]$，不等式$g(x)\leq\frac{x}{5}$恒成立， 得$a\sqrt{x}-45\leq\frac{x}{5}$，即$5a\leq\sqrt{x}+\frac{225}{\sqrt{x}}$对任意$x\in[100,1600]$恒成立， 显然$\sqrt{x}\in[10,40]$，则$\sqrt{x}+\frac{225}{\sqrt{x}}\geq2\sqrt{\sqrt{x}\cdot\frac{225}{\sqrt{x}}}=30$，当且仅当$\sqrt{x}=\frac{225}{\sqrt{x}}$，即$x = 225$时取等号， 于是$5a\leq30$，解得$a\leq6$，从而$\frac{11}{2}\leq a\leq6$. 因此当$\frac{11}{2}\leq a\leq6$，$x\in[100,1600]$时，$g(x)\leq6\sqrt{x}-45\leq6\sqrt{1600}-45 = 195$，当且仅当$a = 6$且$x = 1600$时取等号. 所以在该奖励方案函数模型前提下，科研课题组最多可以获取195万元奖金.