《2025年金考卷名师名题单元双测卷数学必修第一册人教版B》

17.(15分)(情境创新)[2024北京市八一学校高一月考]水果市场将120吨水果运往各地商家，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示(假设每辆车均满载)：
|车型|甲|乙|丙|
|----|----|----|----|
|汽车运载量(吨/辆)|5|8|10|
|汽车运费(元/辆)|400|500|600|
(1)若全部水果都用甲、乙两种车型来运送，需运费8 200元，问：分别需甲、乙两种车型各几辆？
(2)市场可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送(每种车型至少1辆)，已知它们的总辆数为16，分别求出三种车型的辆数.

答案： 【解析】 （1）设需甲车型$x$辆，乙车型$y$辆， 由题得$\begin{cases}5x + 8y = 120\\400x + 500y = 8200\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 8\\y = 10\end{cases}$，（5分） 所以需甲车型8辆，乙车型10辆。（6分） （2）设需甲车型$x(1\leq x\leq14)$辆，乙车型$y(1\leq y\leq14)$辆，丙车型$z(1\leq z\leq14)$辆， 由题意，得$\begin{cases}x + y + z = 16\\5x + 8y + 10z = 120\end{cases}$，消去$z$，得$5x + 2y = 40$，所以$x = 8-\frac{2}{5}y$，（9分） 又$x$，$y$均为正整数，所以$\begin{cases}x = 6\\y = 5\end{cases}$或$\begin{cases}x = 4\\y = 10\end{cases}$，（12分） 当$\begin{cases}x = 6\\y = 5\end{cases}$时，$z = 5$，当$\begin{cases}x = 4\\y = 10\end{cases}$时，$z = 2$， 所以甲、乙、丙三种车型的辆数分别为6，5，5或4，10，2。（15分）