《2025年金考卷名师名题单元双测卷数学必修第一册人教版B》

18. (17分) [2023大同一中高一期中改编]设$p$:实数$x$满足$M = \{x|-2\leq x\leq5\}$,$q$:实数$x$满足$N = \{x|1 - 2m\leq x\leq2 + m\}$,$N$为非空集合.
(1)若命题“$\forall x\in M,x\in N$”是真命题,求实数$m$的取值范围；
(2)若$p$是$q$的必要不充分条件,求实数$m$的取值范围.

答案：
(1)因为命题“$\forall x\in M,x\in N$”是真命题,所以$M\subseteq N$,根据题意作出数轴， 所以$\begin{cases}1 - 2m\leq - 2\\2 + m\geq5\end{cases}$,解得$m\geq3$, 即实数$m$的取值范围是$\{m|m\geq3\}$.
(2)第一步:由$p$是$q$的必要不充分条件，确定$N$与$M$的包含关系 因为$p$是$q$的必要不充分条件，所以$N$是$M$的真子集. 第二步:根据集合关系列不等式组,得出$m$的取值范围 由$N$为非空集合,知$1 - 2m\leq2 + m$,即$m\geq - \frac{1}{3}$. 因为$N$是$M$的真子集，所以$\begin{cases}1 - 2m\geq - 2\\2 + m\leq5\end{cases}$，且等号不同时成立，解得$ - \frac{1}{3}\leq m\leq\frac{3}{2}$ 所以实数$m$的取值范围是$\{m| - \frac{1}{3}\leq m\leq\frac{3}{2}\}$.