《2025年金考卷名师名题单元双测卷数学必修第一册人教版B》

16. (15分) [2023北京八十中高一月考]已知集合$A = \{x\in \mathbf{N}|\frac{1}{3}＜x ＜ 4\}$,$B = \{x|ax - 1\geq0\}$.
(1)当$a = \frac{1}{2}$时,求$A\cap B$；
(2)若_______,求实数$a$的取值范围.
请从①$A\cup B = B$,②$A\cap B = \varnothing$,③$A\cap (\complement_{\mathbf{R}}B)\neq\varnothing$这三个条件中选一个填入(2)中横线处,并完成第(2)问的解答.
如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.

答案：
(1)由题意得,$A = \{x\in \mathbf{N}|\frac{1}{3}＜x ＜ 4\}=\{1,2,3\}$. 当$a = \frac{1}{2}$时,$B = \{x|\frac{1}{2}x - 1\geq0\}=\{x|x\geq2\}$. $\therefore A\cap B = \{2,3\}$.
(2)选择①.
∵$A\cup B = B$,$\therefore A\subseteq B$. 当$a = 0$时,$B = \varnothing$,不满足$A\subseteq B$,舍去; 当$a ＞ 0$时,$B = \{x|x\geq\frac{1}{a}\}$,要使$A\subseteq B$,则$\frac{1}{a}\leq1$,解得$a\geq1$; 当$a ＜ 0$时,$B = \{x|x\leq\frac{1}{a}\}$,此时$\frac{1}{a}＜0$,不满足$A\subseteq B$,舍去. 综上,实数$a$的取值范围为$\{a|a\geq1\}$. 选择② 当$a = 0$时,$B = \varnothing$,满足$A\cap B = \varnothing$; 当$a ＞ 0$时,$B = \{x|x\geq\frac{1}{a}\}$,要使$A\cap B = \varnothing$,则$\frac{1}{a}＞3$,解得$0 ＜ a＜\frac{1}{3}$; 当$a ＜ 0$时,$B = \{x|x\leq\frac{1}{a}\}$,此时$\frac{1}{a}＜0$,$A\cap B = \varnothing$. 综上,实数$a$的取值范围为$\{a|a＜\frac{1}{3}\}$. 选择③. 当$a = 0$时,$B = \varnothing$,$\complement_{\mathbf{R}}B = \mathbf{R}$,$\therefore A\cap (\complement_{\mathbf{R}}B)=A\neq\varnothing$,满足题意; 当$a ＞ 0$时,$B = \{x|x\geq\frac{1}{a}\}$,$\complement_{\mathbf{R}}B = \{x|x＜\frac{1}{a}\}$, 要使$A\cap (\complement_{\mathbf{R}}B)\neq\varnothing$,则$\frac{1}{a}＞1$,解得$0 ＜ a＜1$; 当$a ＜ 0$时,$B = \{x|x\leq\frac{1}{a}\}$,$\complement_{\mathbf{R}}B = \{x|x＞\frac{1}{a}\}$, 此时$\frac{1}{a}＜0$,$A\cap (\complement_{\mathbf{R}}B)=A\neq\varnothing$,满足题意. 综上,实数$a$的取值范围为$\{a|a＜1\}$.

17. (15分) [2024遵义四中高一月考]求证：
(1)“$a ＞ 1000$”是“$|a - 1000| = a - 1000$”的充分不必要条件；
(2)“$A = \varnothing$”是“$\complement_{\mathbf{R}}A = \mathbf{R}$”的充要条件.

答案：
(1)充分性:当$a ＞ 1000$时,$|a - 1000| = a - 1000$，充分性成立; 必要性:由$|a - 1000| = a - 1000$,得$a - 1000\geq0$,$a\geq1000$,必要性不成立. 所以“$a ＞ 1000$”是“$|a - 1000| = a - 1000$”的充分不必要条件.
(2)充分性:若$A = \varnothing$,则$\complement_{\mathbf{R}}A = \mathbf{R}$,充分性成立; 必要性:若$\complement_{\mathbf{R}}A = \mathbf{R}$,则$A = \varnothing$,必要性成立. 所以“$A = \varnothing$”是“$\complement_{\mathbf{R}}A = \mathbf{R}$”的充要条件.