《2025年金考卷名师名题单元双测卷数学必修第一册人教版B》

7. 已知定义在R上的函数$f(x)$的图象是连续不断的，且满足以下条件：
①$\forall x\in R$，$f( -x)=f(x)$；②$\forall x_{1},x_{2}\in(0, +\infty)$，当$x_{1}\neq x_{2}$时，$\frac{x_{2}f(x_{1})-x_{1}f(x_{2})}{x_{1}-x_{2}}＞0$. 记$a = f(1)$，$b=\frac{f( - 3)}{3}$，$c=\frac{f(5)}{5}$，则 ( )
A. $c ＜ a ＜ b$
B. $a ＜ b ＜ c$
C. $c ＜ b ＜ a$
D. $b ＜ c ＜ a$

答案： B 依题意，$\forall x_{1},x_{2}\in(0,+\infty),x_{1}\neq x_{2},\frac{x_{2}f(x_{1})-x_{1}f(x_{2})}{x_{1}-x_{2}}＞\frac{f(x_{1})}{x_{1}}-\frac{f(x_{2})}{x_{2}}＞0\Leftrightarrow\frac{\frac{f(x_{1})}{x_{1}}-\frac{f(x_{2})}{x_{2}}}{x_{1}-x_{2}}＞0$，所以函数$\frac{f(x)}{x}$在$(0,+\infty)$上单调递增。又$\forall x\in\mathbf{R},f( - x)=f(x)$，所以函数$f(x)$是$\mathbf{R}$上的偶函数，所以$\frac{f( - 3)}{3}=\frac{f(3)}{3}$。显然有$\frac{f(1)}{1}＜\frac{f(3)}{3}＜\frac{f(5)}{5}$，所以$a ＜ b ＜ c$。故选B。

8. 已知定义在R上的偶函数$f(x)$的图象经过点$( -1, -4)$，当$a$，$b\in[0, +\infty)$，且$a\neq b$时，不等式$(a - b)[f(b)-f(a)]＞0$恒成立，则不等式$f(x - 2)+4 ＜ 0$的解集为 ( )
A. $(-\infty,1)$
B. $(3, +\infty)$
C. $(-\infty,1)\cup(3, +\infty)$
D. $(1,3)$

答案： C 函数的奇偶性、单调性 + 解不等式 解题路线 $f(x)$的图象经过点$( - 1, - 4)\xrightarrow{f(x)为偶函数}f(1)= - 4\xrightarrow{函数单调性的定义}函数f(x)在[0,+\infty)上单调递减，在( - \infty,0]上单调递增\xrightarrow{f(x - 2)+4＜0}关于x的不等式\xrightarrow{解不等式}得解。
由题意知，偶函数$f(x)$的图象经过点$( - 1, - 4)$，所以点$(1, - 4)$也在$f(x)$的图象上，即$f
(1)= - 4$，因为当$a,b\in[0,+\infty)$，且$a\neq b$时，不等式$(a - b)[f(b)-f(a)]＞0$恒成立，所以$\begin{cases}a ＞ b\\f(a)＜f(b)\end{cases}$或$\begin{cases}a ＜ b\\f(a)＞f(b)\end{cases}$，函数$f(x)$在$[0,+\infty)$上单调递减，所以$f(x)$在$( - \infty,0]$上单调递增。$f(x - 2)+4＜0$等价于$f(x - 2)＜ - 4$，又$f
(1)=f( - 1)= - 4$，所以$|x - 2|＞1$，解得$x ＜ 1$或$x ＞ 3$，故选C。

9. 关于函数$y=\sqrt{4-(x + 1)^{2}}$，下列说法正确的是 ( )
A. 在区间$[ -1,0]$上单调递减
B. 单调递增区间为$[ -3, -1]$
C. 最大值为2
D. 没有最小值

答案： ABC A(√)B(√)由$4-(x + 1)^{2}\geq0$得$-3\leq x\leq1$，即函数$y=\sqrt{4-(x + 1)^{2}}$的定义域为$[ - 3,1]$，令$t = 4-(x + 1)^{2}$，则$t = 4-(x + 1)^{2}$的图象是开口向下，对称轴为$x = - 1$的抛物线，所以函数$t = 4-(x + 1)^{2}$在$[ - 3, - 1]$上单调递增，在$[ - 1,1]$上单调递减，又$y=\sqrt{t}$显然单调递增，所以$y=\sqrt{4-(x + 1)^{2}}$在$[ - 3, - 1]$上单调递增，在$[ - 1,1]$上单调递减；C(√)D(×)$y_{\max}=\sqrt{4-( - 1 + 1)^{2}}=2$，当$x = - 3$时，$y=\sqrt{4-( - 3 + 1)^{2}}=0$，当$x = 1$时，$y=\sqrt{4-(1 + 1)^{2}}=0$，则$y_{\min}=0$。故选ABC。

10. (探索创新)设函数$f(x)=\text{mid}\{|x - 2|,x^{2},|x + 2|\}$，其中$\text{mid}\{x,y,z\}$表示$x$，$y$，$z$中的居中者，下列说法正确的有 ( )

A. $f(x)$只有一个最小值点
B. $f(x)$的值域为$[1, +\infty)$
C. $f(x)$为偶函数
D. $f(x)$在$(0,1)$上单调递减

答案：
BCD 先画出$f_{1}(x)=|x - 2|,f_{2}(x)=x^{2}$与$f_{3}(x)=|x + 2|$的图象，根据函数定义确定函数$f(x)$的图象，结合图象逐项判断即可。在同一坐标系中分别画出$f_{1}(x)=|x - 2|,f_{2}(x)=x^{2}$与$f_{3}(x)=|x + 2|$的图象，根据$\text{mid}\{x,y,z\}$表示$x,y,z$中的居中者知函数$f(x)$的图象(蓝线)如图： A(×)由图知，当$x=\pm1$时，$f(x)$取到最小值1，所以$f(x)$有两个最小值点；B(√)由图知，函数$f(x)$的值域为$[1,+\infty)$；C(√)由图知，函数$f(x)$的图象关于$y$轴对称，所以函数$f(x)$为偶函数；D(√)由图知，函数$f(x)$在$(0,1)$上单调递减。故选BCD。

11. 定义在R上的奇函数$f(x)$满足$f( - 3x)=f(2 + 3x)$，则下列结论一定成立的是 ( )
A. $f(2)=1$
B. $f(x)=f(x - 4)$
C. $(2,0)$是$f(x)$图象的一个对称中心
D. $f(3x + 1)$为偶函数

答案： BCD A(×)$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的奇函数，所以$f(0)=0$，又$f(x)$满足$f( - 3x)=f(2 + 3x)$，令$x = 0$，所以$f(2)=f(0)=0$；B(√)由$f( - 3x)=f(2 + 3x)$，可知$f( - x)=f(2 + x)$，所以$f(x)=f(2 - x)= - f(x - 2)=f(x - 4)$；C(√)因为$f( - x)=f(2 + x)$，所以$x = 1$是$f(x)$图象的对称轴，又$(0,0)$为$f(x)$图象的一个对称中心，所以$(2,0)$是$f(x)$图象的一个对称中心；D(√)因为$f( - x)=f(2 + x)$，所以$f(3x + 1)=f(1 - 3x)$，即$f(3x + 1)$为偶函数。故选BCD。

12. 若函数$f(x)$的值域是$[\frac{1}{2},3]$，则函数$F(x)=f(x)+\frac{1}{f(x)}$的最大值是_______.

答案： $\frac{10}{3}$ 令$f(x)=t,y=t+\frac{1}{t}$，则$t\in[\frac{1}{2},3]$。当$t\in[\frac{1}{2},1)$时，$y=t+\frac{1}{t}$单调递减，当$t\in[1,3]$时，$y=t+\frac{1}{t}$单调递增，又当$t=\frac{1}{2}$时，$y=\frac{5}{2}$，当$t = 3$时，$y=\frac{10}{3}$，所以函数$F(x)$的最大值为$\frac{10}{3}$。