《2025年金考卷名师名题单元双测卷数学必修第一册人教版B》

13. (探索创新) [2023北京市东城区高一期末]设集合$U = \{2,3,4\}$,对其子集引进“势”的概念：①空集的“势”最小；②非空子集的元素越多,其“势”越大；③若两个子集的元素个数相同,则子集中最大的元素越大,子集的“势”就越大,最大的元素相同,则第二大的元素越大,子集的“势”就越大,依此类推.若将全部的子集按“势”从小到大的顺序排列,则排在第6位的子集是_______.

答案： $\{2,4\}$　集合$U = \{2,3,4\}$,将全部的子集按“势”从小到大的顺序排列,结果为$\varnothing$,$\{2\}$,$\{3\}$,$\{4\}$,$\{2,3\}$,$\{2,4\}$,$\{3,4\}$,$\{2,3,4\}$,排在第$6$位的子集是$\{2,4\}$.

14. [丹阳高级中学诊断考试]设条件$p:|x|\leq m(m ＞ 0)$,$q:-1\leq x\leq4$,若$p$是$q$的充分条件,则$m$的最大值为_______,若$p$是$q$的必要条件,则$m$的最小值为_______. (本题第一空2分,第二空3分)

答案： 1　4　根据充分条件、必要条件求参数 思路导引　由$|x|\leq m(m ＞ 0)$解得$-m\leq x\leq m(m ＞ 0)$,根据$p$是$q$的充分条件，结合集合的包含关系，列出不等关系式,求得$0 ＜ m\leq1$,从而得到$m$的最大值;根据$p$是$q$的必要条件,结合集合的包含关系，列出不等关系式，求得$m\geq4$,从而得到$m$的最小值. 由$|x|\leq m(m ＞ 0)$得$-m\leq x\leq m(m ＞ 0)$,$p$是$q$的充分条件$\Rightarrow\begin{cases}-m\geq - 1\\m\leq 4\\m ＞ 0\end{cases}\Rightarrow0 ＜ m\leq1$,$\therefore m$的最大值为$1$.$p$是$q$的必要条件$\Rightarrow\begin{cases}-m\leq - 1\\m\geq 4\\m ＞ 0\end{cases}\Rightarrow m\geq4$,$\therefore m$的最小值为$4$.

15. (13分)已知命题$p:\forall x\in \mathbf{R},2x\neq - x^{2}+m$,命题$q:\exists x\in \mathbf{R},x^{2}+2x - m - 1 = 0$.
(1)写出命题$p$的否定；
(2)若命题$p$为假命题,命题$q$为真命题,求实数$m$的取值范围.

答案：
(1)
∵命题$p:\forall x\in \mathbf{R},2x\neq - x² + m$,
∴命题$p$的否定:$\exists x\in \mathbf{R},2x = - x² + m$.
(2)
∵命题$p$为假命题，
∴命题$p$的否定:$\exists x\in \mathbf{R},2x = - x² + m$为真命题, 即$- x² - 2x + m = 0$有实数根,
∴$\Delta_1 = 4 + 4m\geq0$,$\therefore m\geq - 1$. 又
∵命题$q$为真命题，
∴$x² + 2x - m - 1 = 0$有实数根,
∴$\Delta_2 = 4 + 4(m + 1)\geq0$,$\therefore m\geq - 2$.
∴$m$的取值范围是$[-1,+\infty)$.