《2025年金考卷名师名题单元双测卷数学必修第一册人教版B》

19.(17分)［2023河北省秦皇岛市高一期中］已知二次函数$f(x)$满足$f(x + 1)+f(x - 1)=2x^{2}-4x$.
(1)求函数$f(x)$的解析式；
(2)若$g(x)=f(x)-(m - 2)x$，$x\in[ - 1 , 2]$.
①求$g(x)$的最小值$h(m)$；
②讨论关于$m$的方程$|h(m)+5|=k$的解的个数.

答案：
【解析】
(1) 设 $f(x)=ax^{2}+bx + c(a\neq0)$，因为 $f(x + 1)+f(x - 1)=2x^{2}-4x$，所以 $f(x + 1)+f(x - 1)=a(x + 1)^{2}+b(x + 1)+c+a(x - 1)^{2}+b(x - 1)+c=2ax^{2}+2bx+2a + 2c=2x^{2}-4x$，所以 $\begin{cases}2a = 2\\2b=-4\\2a + 2c = 0\end{cases}$，解得 $\begin{cases}a = 1\\b=-2\\c=-1\end{cases}$，所以 $f(x)=x^{2}-2x - 1$。(4 分)
(2) ①$g(x)=f(x)-(m - 2)x=x^{2}-mx - 1,x\in[-1,2]$。 当 $\frac{m}{2}\leq - 1$，即 $m\leq - 2$ 时，$g(x)$ 在 $[-1,2]$ 上单调递增，$g(x)_{\min}=g(-1)=m$。 当 $-1＜\frac{m}{2}＜2$，即 $-2＜m＜4$ 时，$g(x)_{\min}=g(\frac{m}{2})=-\frac{m^{2}}{4}-1$。 当 $\frac{m}{2}\geq2$，即 $m\geq4$ 时，$g(x)$ 在 $[-1,2]$ 上单调递减，$g(x)_{\min}=g(2)=3 - 2m$。 综上所述，$g(x)_{\min}=h(m)=\begin{cases}m,m\leq - 2\\-\frac{m^{2}}{4}-1,-2＜m＜4\\3 - 2m,m\geq4\end{cases}$。(10 分) ②$h(m)+5=\begin{cases}m + 5,m\leq - 2\\-\frac{m^{2}}{4}-1 + 5,-2＜m＜4\\3 - 2m+5,m\geq4\end{cases}$ 故 $|h(m)+5|=\begin{cases}-m - 5,m＜-5\\m + 5,-5\leq m\leq - 2\\-\frac{m^{2}}{4}+4,-2＜m＜4\\2m - 8,m\geq4\end{cases}$。 画出函数 $y = |h(m)+5|$ 的大致图象，如图所示：当 $k＜0$ 时，方程无解； 当 $0＜k＜4$ 时，方程有 4 个解； 当 $k = 0$ 或 $k＞4$ 时，方程有 2 个解； 当 $k = 4$ 时，方程有 3 个解。(17 分)