《2025年金考卷名师名题单元双测卷数学必修第一册人教版B》

8. [2024哈尔滨三中高一寒假验收考试]设$f(x)$是$\mathbf{R}$上的奇函数，且满足：对任意的$x_{1},x_{2}\in(-\infty,0)$且$x_{1}\neq x_{2}$都有$\frac{f(x_{1})-f(x_{2})}{x_{1}-x_{2}}＜0$，$f(1)=0$，则$xf(x)＜0$的解集是 ( )
A. $\{x|-1＜x＜0或0＜x＜1\}$
B. $\{x|x＜-1或0＜x＜1\}$
C. $\{x|x＜-1或x＞1\}$
D. $\{x|-1＜x＜0或x＞1\}$

答案：
C 对任意的$x_{1},x_{2}\in( -\infty,0)$且$x_{1}\neq x_{2}$都有$\frac{f(x_{1})-f(x_{2})}{x_{1}-x_{2}}＜0$，所以$f(x)$在$( -\infty,0)$上单调递减，又$f(x)$是$R$上的奇函数，且$f(1)=0$，所以可以画出$f(x)$的草图如下：  要使$xf(x)＜0$，则$x$与$f(x)$的符号相反，由图易知，当$x＞1$时，$f(x)＜0$，此时$xf(x)＜0$；当$x＜ -1$时，$f(x)＞0$，此时$xf(x)＜0$。故不等式$xf(x)＜0$的解集为$\{x|x＜ -1或x＞1\}$。故选C。

9. [2024南宁三中高一期中]已知函数$y = f(x)$的定义域为$[-1,5]$，其图象如图所示，则下列说法中正确的是 ( )

A. $f(x)$的单调递减区间为$(0,2)$
B. $f(x)$的最大值为2
C. $f(x)$的最小值为 -1
D. $f(x)$的单调递增区间为$(-1,0)$和$(2,5)$

答案： ACD A(√)由图象可知，$f(x)$的单调递减区间为$(0,2)$； B(×)当$x = 0$时，$f(x)_{max}=3$；C(√)当$x = 2$时，$f(x)_{min}= -1$；D(√)由图象可知，$f(x)$的单调递增区间为$( -1,0)$和$(2,5)$。故选ACD。

10. [2024宁波效实中学高一期中]下列函数中是偶函数并且值域为$[0,+\infty )$的有 ( )
A. $f(x)=\frac{1}{x^{2}}$
B. $f(x)=|x^{2}-2|$
C. $f(x)=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}-2$
D. $f(x)=\sqrt{x^{2}-2|x|}$

答案： BCD A(×)对于函数$f(x)=\frac{1}{x^{2}}$，定义域为$\{x|x\neq0\}$，值域为$(0, +\infty)$； B(√)对于函数$f(x)=|x^{2}-2|$，定义域为$R$，且$f( -x)=|( -x)^{2}-2|=|x^{2}-2|=f(x)$，故$f(x)$为偶函数，且值域为$[0, +\infty)$； C(√)对于函数$f(x)=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}-2$，定义域为$\{x|x\neq0\}$，且$f( -x)=( -x)^{2}+\frac{1}{( -x)^{2}}-2=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}-2=f(x)$，故函数$f(x)$为偶函数，又$f(x)=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}-2\geq2\sqrt{x^{2}\cdot\frac{1}{x^{2}}}-2 = 0$，当且仅当$x=\pm1$时，等号成立，故函数$f(x)$的值域为$[0, +\infty)$； D(√)对于函数$f(x)=\sqrt{x^{2}-2|x|}$，令$x^{2}-2|x|\geq0$，得$x = 0$或$x\geq2$或$x\leq -2$，故函数的定义域为$\{x|x = 0或x\geq2或x\leq -2\}$，关于原点对称，且$f( -x)=\sqrt{( -x)^{2}-2| -x|}=\sqrt{x^{2}-2|x|}=f(x)$，故函数$f(x)$为偶函数，且函数$f(x)$的值域为$[0, +\infty)$。故选BCD。

11. [2024青岛二中月考]函数$f(x)$满足：对任意实数$x,y$，都有$f(x + y)=f(x)+f(y)-2$，且当$x＞0$时，$f(x)＞2$，则 ( )
A. $f(0)=2$
B. $f(x)$的图象关于$(0,2)$对称
C. $f(-2024)+f(2024)=4$
D. $f(x)$为减函数

答案： ABC A(√)对任意实数$x$，$y$，$f(x + y)=f(x)+f(y)-2$，令$x = y = 0$，则$f(0)=f(0)+f(0)-2$，即$f(0)=2$； B(√)令$y = -x$，则$f(0)=f(x)+f( -x)-2$，即$f(x)+f( -x)=4$； C(√)由选项B，令$x = 2024$，得$f(2024)+f( -2024)=4$； D(×)对任意$y\in R$，$x＞0$，设$z = x + y＞y$，因为当$x＞0$时，$f(x)＞2$，所以$f(z)-f(y)=f(x)-2＞0$，即$f(z)＞f(y)$，所以$f(x)$为增函数。故选ABC。

12. [2023芜湖一中高一期中]$f(x)=x^{5}+100x^{3}+x + 1$，若$f(m)=-2$，则$f(-m)=$_______.

答案： 4 令$f(x)=g(x)+1$，$g(x)=x^{5}+100x^{3}+x$，$x\in R$，则$g( -x)= -g(x)$，$g(x)$为奇函数，由$f(m)=g(m)+1 = -2$，解得$g(m)= -3$，所以$g( -m)=3$，所以$f( -m)=g( -m)+1=3 + 1 = 4$。