《2025年金考卷名师名题单元双测卷数学必修第一册人教版B》

16. (15分)[2024广东省汕头市高一期中]在①$k = -1$，②$k = 1$这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.
已知函数$f(x)=\frac{k}{x}-kx$，且_______.
(1)求$f(x)$的定义域，并判断$f(x)$的奇偶性；
(2)判断$f(x)$的单调性，并用定义给予证明.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

答案： 【解析】 选择①.
(1)因为$k = -1$，所以$f(x)=x-\frac{1}{x}$。 要使函数$f(x)$有意义，只需$x\neq0$， 所以函数$f(x)$的定义域为$( -\infty,0)\cup(0, +\infty)$。 因为$f( -x)= -x-\frac{1}{ -x}=-(x-\frac{1}{x})= -f(x)$， 所以$f(x)$为奇函数。
(2)函数$f(x)$在区间$( -\infty,0)$和$(0, +\infty)$均为增函数。 证明如下：$\forall x_{1},x_{2}\in(0, +\infty)$，且$x_{1}＜x_{2}$， 则$f(x_{1})-f(x_{2})=x_{1}-\frac{1}{x_{1}}-(x_{2}-\frac{1}{x_{2}})$ $=(x_{1}-x_{2})+\frac{x_{1}-x_{2}}{x_{1}x_{2}}$ $=(x_{1}-x_{2})(1+\frac{1}{x_{1}x_{2}})$ $=\frac{(x_{1}-x_{2})(x_{1}x_{2}+1)}{x_{1}x_{2}}$， 因为$0＜x_{1}＜x_{2}$，所以$x_{1}-x_{2}＜0$，$x_{1}x_{2}＞0$，$x_{1}x_{2}+1＞0$， 所以$f(x_{1})-f(x_{2})＜0$，即$f(x_{1})＜f(x_{2})$， 故函数$f(x)$在区间$(0, +\infty)$为增函数。 同理可证，函数$f(x)$在区间$( -\infty,0)$为增函数， 所以函数$f(x)$在区间$( -\infty,0)$和$(0, +\infty)$均为增函数。 选择②.
(1)因为$k = 1$，所以$f(x)=\frac{1}{x}-x$。 要使函数$f(x)$有意义，只需$x\neq0$， 所以函数$f(x)$的定义域为$( -\infty,0)\cup(0, +\infty)$。 因为$f( -x)=\frac{1}{ -x}-( -x)=-(\frac{1}{x}-x)= -f(x)$， 所以$f(x)$为奇函数。
(2)函数$f(x)$在区间$( -\infty,0)$和$(0, +\infty)$均为减函数。 证明如下：$\forall x_{1},x_{2}\in(0, +\infty)$，且$x_{1}＜x_{2}$， 则$f(x_{1})-f(x_{2})=\frac{1}{x_{1}}-x_{1}-(\frac{1}{x_{2}}-x_{2})$ $=\frac{x_{2}-x_{1}}{x_{1}x_{2}}+(x_{2}-x_{1})$ $=(x_{2}-x_{1})(1+\frac{1}{x_{1}x_{2}})$ $=\frac{(x_{2}-x_{1})(x_{1}x_{2}+1)}{x_{1}x_{2}}$， 因为$0＜x_{1}＜x_{2}$，所以$x_{2}-x_{1}＞0$，$x_{1}x_{2}＞0$，$x_{1}x_{2}+1＞0$， 所以$f(x_{1})-f(x_{2})＞0$，即$f(x_{1})＞f(x_{2})$， 故函数$f(x)$在区间$(0, +\infty)$为减函数。 同理可证，函数$f(x)$在区间$( -\infty,0)$为减函数， 所以函数$f(x)$在区间$( -\infty,0)$和$(0, +\infty)$均为减函数。

17. (15分)[2024芜湖一中高一检测]已知$f(x)$是$(0,+\infty )$上的增函数，对一切正数$x,y$都有$f(xy)=f(x)+f(y)$成立，且$f(3)=1$.
(1)求$f(1)$和$f(81)$的值；
(2)若$f(x)+f(x - 8)\leq2$，求$x$的取值范围.

答案： 抽象函数 思路导引
(1)令$x = 3$，$y = 1$，可得$f(1)$。令$x = y = 3$，可得$f(9)$，又令$x = y = 9$，可得$f(81)$；
(2)由题意及
(1)，$f(x)+f(x - 8)\leq2\Leftrightarrow f(x^{2}-8x)\leq f(9)$，由单调性及函数定义域可得答案。 【解析】
(1)令$x = 3$，$y = 1$，则$f(3)=f(3)+f(1)\Rightarrow f(1)=0$。 令$x = y = 3$，则$f(9)=2f(3)=2$， 又令$x = y = 9$，则$f(81)=2f(9)=4$。 故$f(1)=0$，$f(81)=4$。
(2)由题意及
(1)，得$f(x)+f(x - 8)\leq2\Leftrightarrow f(x^{2}-8x)\leq f(9)$（关键点：注意题干给出$f(x)$是$(0, +\infty)$上的增函数，将不等式转化为利用单调性和定义域求解的式子）， 结合$f(x)$的单调性及定义域，则$\begin{cases}x＞0\\x - 8＞0\\x^{2}-8x\leq9\end{cases}\Rightarrow8＜x\leq9$， 则$x$的取值范围是$(8,9]$。