《2025年金考卷名师名题单元双测卷数学必修第一册人教版B》

12.［2024广东省惠州市高一期末］若用二分法求方程$2x^{3}+3x - 3 = 0$在初始区间$(0 , 1)$内的近似解，则第二次所取区间的中点$x_{2}=$__________.

答案： $\frac{3}{4}$ 令 $f(x)=2x^{3}+3x - 3$，则 $f(0)=-3＜0$，$f(1)=2 + 3 - 3 = 2＞0$，则 $x_{1}=\frac{0 + 1}{2}=\frac{1}{2}$，$f(\frac{1}{2})=2\times\frac{1}{8}+3\times\frac{1}{2}-3=-\frac{5}{4}＜0$，故 $x_{2}=\frac{\frac{1}{2}+1}{2}=\frac{3}{4}$。

13.(开放创新)［2023辽宁省实验中学高一期末］已知函数$f(x)$同时满足下列两个条件：①$f(0)f(2)＜0$，②$f(x)$无零点.写出一个符合题意的函数$f(x)=$________.(结果不能写成分段函数的形式)

答案： $\frac{1}{x - 1}$（答案不唯一） 函数 $f(x)=\frac{1}{x - 1}$ 同时满足下列两个条件：①$f(0)f(2)=\frac{1}{0 - 1}\times\frac{1}{2 - 1}=-1＜0$，②$f(x)=\frac{1}{x - 1}$ 无零点。故答案可以为 $f(x)=\frac{1}{x - 1}$。

14.［2024衡阳八中高一月考］定义在$\mathbf{R}$上的奇函数$f(x)$满足$f(2 - x)=f(x)$，且在$[0 , 1)$上单调递减，若方程$f(x)= - 1$在$[0 , 1)$上有实根，则方程$f(x)=0.7$在区间$[ - 1 , 11]$上根的个数为________，且所有实根之和为________.(本题第一空2分，第二空3分)

答案：
6 30 因为函数 $f(x)$ 是奇函数，所以 $f(x)=-f(-x)$，且 $f(0)=0$，又因为 $f(x)=f(2 - x)$，所以 $-f(-x)=f(2 - x)$，即 $-f(x)=f(x + 2)$，且函数 $f(x)$ 的图象关于 $x = 1$ 对称，由 $-f(x)=f(x + 2)$ 得 $-f(x + 2)=f(x + 4)$，所以 $f(x)=f(x + 4)$。由函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调递减，方程 $f(x)=-1$ 在 $[0,1)$ 上有实根可知方程 $f(x)=-1$ 在 $[0,1)$ 上有且仅有一个实根，作出函数 $f(x)$ 的大致图象如图所示： 由图可知函数 $f(x)$ 的图象与直线 $y = 0.7$ 在区间 $[ - 1,11]$ 上有 6 个交点，且两两对称，故方程 $f(x)=0.7$ 在区间 $[ - 1,11]$ 上根的个数为 6，且 $x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6}=2 + 10 + 18 = 30$。

15.(13分)［2024人大附中高一期中］关于$x$的方程$3x^{2}+4kx + 2k^{2}-2 = 0(k\in\mathbf{R})$.
(1)当$k = 1$时，求方程的根.
(2)若方程有两个不相等的实数根$x_{1},x_{2}$，
①求实数$k$的取值范围；②用关于$k$的式子表示$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$.

答案： 【解析】
(1) 由题设 $3x^{2}+4x=x(3x + 4)=0$，可得 $x = 0$ 或 $x=-\frac{4}{3}$。(4 分)
(2) ①由方程有两个不相等的实数根 $x_{1},x_{2}$，知 $\Delta = 16k^{2}-12\times(2k^{2}-2)＞0$，所以 $k^{2}＜3\Rightarrow-\sqrt{3}＜k＜\sqrt{3}$，即实数 $k$ 的取值范围为 $(-\sqrt{3},\sqrt{3})$。(8 分) ②由根与系数的关系知 $\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-\frac{4k}{3}\\x_{1}x_{2}=\frac{2(k^{2}-1)}{3}\end{cases}$，所以 $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=\frac{16}{9}k^{2}-\frac{4(k^{2}-1)}{3}=\frac{4(k^{2}+3)}{9}$。(13 分)