《2025年金考卷名师名题单元双测卷数学必修第一册人教版B》

16.(15分)(1)已知等式$xy - 2y - 2 = 0$，若$x$，$y$均为正整数，求$x$，$y$的值；
(2)设$p = \frac{4}{(x_{1} - 2)+(x_{2} - 2)}$，$q = \frac{y_{1} + y_{2}}{2}$，$y_{1}$，$y_{2}$分别是分式$\frac{2}{x - 2}$中的$x$取$x_{1}$，$x_{2}(x_{2} ＞ x_{1} ＞ 2)$时所对应的值，试比较$p$，$q$的大小，并说明理由.

答案： 【解析】
(1) 由 $xy - 2y - 2 = 0$ 得 $(x - 2)y - 2 = 0$，即 $y=\frac{2}{x - 2}$。（2 分） 因为 $x$，$y$ 均为正整数，$y=\frac{2}{x - 2}$，所以 $y$ 只能为 1 或 2，（4 分） 所以当 $y = 1$ 时，$x = 4$，当 $y = 2$ 时，$x = 3$，即 $x$，$y$ 的值为 $\begin{cases}x = 4\\y = 1\end{cases}$ 或 $\begin{cases}x = 3\\y = 2\end{cases}$。（6 分）
(2) $p ＜ q$。（7 分） 理由如下：根据题中条件可知 $y_{1}=\frac{2}{x_{1}-2}$，$y_{2}=\frac{2}{x_{2}-2}$，因为 $q=\frac{y_{1}+y_{2}}{2}$，所以 $q = (\frac{2}{x_{1}-2}+\frac{2}{x_{2}-2})\times\frac{1}{2}=\frac{1}{x_{1}-2}+\frac{1}{x_{2}-2}$，设 $a = x_{1}-2$，$b = x_{2}-2$，因为 $x_{2}＞x_{1}＞2$，所以 $x_{2}-2＞x_{1}-2＞0$，所以 $b ＞ a＞0$，因为 $p=\frac{4}{(x_{1}-2)+(x_{2}-2)}$，$q=\frac{1}{x_{1}-2}+\frac{1}{x_{2}-2}$，所以 $p=\frac{4}{a + b}$，$q=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$，即 $q=\frac{a + b}{ab}$，所以 $p - q=\frac{4}{a + b}-\frac{a + b}{ab}=\frac{4ab-(a + b)^{2}}{(a + b)ab}=\frac{4ab - a^{2}-2ab - b^{2}}{(a + b)ab}=\frac{-a^{2}+2ab - b^{2}}{(a + b)ab}=-\frac{(a - b)^{2}}{(a + b)ab}$。因为 $b ＞ a＞0$，所以 $(a + b)ab＞0$，$(a - b)^{2}＞0$，所以 $-\frac{(a - b)^{2}}{(a + b)ab}＜0$，所以 $p - q＜0$，所以 $p ＜ q$，结论得证。（15 分）

17.(15分)(情境创新)今年3月份，学校从某厂家购进了$A$，$B$两种型号的电脑共250台，$A$，$B$两种型号的电脑的单价分别为7 000元、9 000元，其中购进$A$型、$B$型电脑的总金额为205万元.
(1)求学校3月份购进$A$，$B$两种型号的电脑各多少台；
(2)为推进学校设备更新进程，学校决定4月份在同一厂家再次购进$A$，$B$两种型号的电脑，在此次采购中，比起3月份购进的同类型电脑，$A$型电脑的单价下降了$a\%$，数量增加了$\frac{4}{5}a\%$，$B$型电脑的单价下降了40$a$元，数量下降了$\frac{4}{5}a\%$，这次采购$A$，$B$两种型号电脑的总金额为159万元，求$a$的值.

答案： 【解析】
(1) 设学校 3 月份购进 A 型电脑 $x$ 台，则学校购进 B 型电脑 $(250 - x)$ 台，由题意得 $7000x + 9000(250 - x)=2050000$，解得 $x = 100$，$250 - 100 = 150$（台），所以学校 3 月份购进 A 型电脑 100 台，B 型电脑 150 台。（6 分）
(2) 根据
(1)可得学校 3 月份购进 A，B 两种型号的电脑的台数分别为 100，150，由题意可得 $7000(1 - a\%)\cdot100(1+\frac{4}{5}a\%)+(9000 - 40a)\cdot150(1-\frac{4}{5}a\%)=1590000$，（10 分）令 $a\% = t$，方程整理得 $4t^{2}+91t - 23 = 0$，解得 $t_{1}=-23$（舍去），$t_{2}=0.25$，所以 $a = 25$。（15 分）