《2025年金考卷名师名题单元双测卷数学必修第一册人教版B》

1.在数轴上，已知$A(a - 1)$，$B(1 - a)$，原点为$O$，则 ( )
A.$a ＜ 1$
B.$a\geq1$
C.$AB = 0$
D.$OA = OB$

答案： D 因为 $a - 1$ 与 $1 - a$ 互为相反数，所以 $OA = OB$。故选 D。

2.已知集合$U = \mathbf{R}$，集合$A = \{x\mid - 2 ＜ x ＜ 3\}$，$B = \{x\mid3 - 2x - x^{2} ＜ 0\}$，则$\{x\mid - 2 ＜ x\leq1\} = $ ( )
A.$A\cup B$
B.$A\cap(\complement_{U}B)$
C.$(\complement_{U}B)\cup A$
D.$(\complement_{U}A)\cap B$

答案： B $B=\{x|3 - 2x - x^{2}＜0\}=\{x|x ＜ - 3或x ＞ 1\}$，故 $\complement_{U}B = \{x|-3\leqslant x\leqslant 1\}$，又 $A = \{x|-2 ＜ x ＜ 3\}$，所以 $A\cap(\complement_{U}B)=\{x|-2 ＜ x\leqslant 1\}$。故选 B。

3.中国国家铁路集团有限公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130 cm，设携带品外部尺寸长、宽、高分别为$a$，$b$，$c$(单位：cm)，若体积不超过$73\ 500\ cm^{3}$，用数学关系式可表示为 ( )
A.$a + b + c ＜ 130$且$abc ＜ 73\ 500$
B.$a + b + c ＞ 130$且$abc ＞ 73\ 500$
C.$a + b + c\leq130$且$abc\leq73\ 500$
D.$a + b + c\geq130$且$abc\geq73\ 500$

答案： C 由长、宽、高之和不超过 130 cm 得 $a + b + c\leqslant 130$，由体积不超过 73500 $cm^{3}$ 得 $abc\leqslant 73500$。故选 C。

4.已知一元二次方程$x^{2} + 3x - 6 = 0$的两根为$m$和$n$，则$m^{2} + n^{2} = $ ( )
A.21
B.15
C.25
D.36

答案： A 由题意得方程 $x^{2}+3x - 6 = 0$ 的两根为 $m$ 和 $n$，由根与系数的关系可得 $m + n = - 3$，$mn = - 6$，所以 $m^{2}+n^{2}=(m + n)^{2}-2mn = 9 + 12 = 21$，故选 A。

5.设$m = \frac{2a + 3b}{5}$，$n = \frac{2b + 3a}{5}$，则使$ab ＜ mn$成立的充要条件是 ( )
A.$a\neq b$
B.$a ＞ b$
C.$a ＜ b$
D.$a\geq b$

答案： A 由题意 $ab ＜ mn\Leftrightarrow ab ＜ \frac{2a + 3b}{5}\cdot\frac{2b + 3a}{5}=\frac{6a^{2}+6b^{2}+13ab}{25}\Leftrightarrow6a^{2}+6b^{2}+13ab ＞ 25ab\Leftrightarrow(a - b)^{2}＞0\Leftrightarrow a\neq b$，故使 $ab ＜ mn$ 成立的充要条件是 $a\neq b$。故选 A。

6.(教材变式)已知方程组$\begin{cases}y = kx + 1\\x^{2} + 2y^{2} = 4\end{cases}$的解集为$A = \{ (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})\}$，且$|x_{1} - x_{2}| = \frac{6\sqrt{2}}{5}$，则$k = $ ( )
A.1或 - 1
B.$\sqrt{2}$或$-\sqrt{2}$
C.$\frac{1}{2}$或$-\frac{1}{2}$
D.2或 - 2

答案： B 由题意，知 $x^{2}+2(kx + 1)^{2}=4$，则 $(1 + 2k^{2})x^{2}+4kx - 2 = 0$，且 $\Delta = 16k^{2}+8(1 + 2k^{2})＞0$，所以 $x_{1}+x_{2}=-\frac{4k}{1 + 2k^{2}}$，$x_{1}x_{2}=-\frac{2}{1 + 2k^{2}}$，而 $|x_{1}-x_{2}|^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}=\frac{72}{25}$，即 $(-\frac{4k}{1 + 2k^{2}})^{2}+\frac{8}{1 + 2k^{2}}=\frac{72}{25}$，整理得 $\frac{4k^{2}+1}{4k^{4}+4k^{2}+1}=\frac{9}{25}\Rightarrow9k^{4}-16k^{2}-4=(9k^{2}+2)(k^{2}-2)=0$，可得 $k = \pm\sqrt{2}$。故选 B。

7.关于$x$的不等式$ax^{2} + bx + c ＞ 0$的解集为$(m,n)$，有下列四个结论：
甲：$m = - 3$；乙：$n = - 1$；丙：$m + n = - 2$；丁：$ac ＜ 0$.
如果只有一个假命题，则假命题是 ( )
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁

答案： B 假设只有甲是假命题，则 $n = - 1$，$m + n = - 2$，$m = - 1$，此时 $mn = 1=\frac{c}{a}＞0$，所以 $ac ＜ 0$ 是假命题，与已知矛盾，不符合题意；假设只有乙是假命题，则 $m = - 3$，$m + n = - 2$，$n = 1$，此时 $mn = - 3=\frac{c}{a}＜0$，所以 $ac ＜ 0$，符合题意；假设只有丙是假命题，则 $m = - 3$，$n = - 1$，此时 $mn = 3=\frac{c}{a}＞0$，所以 $ac ＜ 0$ 是假命题，与已知矛盾，不符合题意；假设只有丁是假命题，则 $m = - 3$，$n = - 1$，此时 $m + n\neq - 2$，与已知矛盾，不符合题意。故选 B。