《2025年金考卷名师名题单元双测卷数学必修第一册人教版B》

12. [2024北京市大兴区高一期中]已知$0 ＜ x ＜ 1$，则$x(1 - x)$的最大值等于_______.

答案： $\frac{1}{4}$：要求积的最大值，考虑凑出和为定值。由 $0 ＜ x ＜ 1$ 得 $0 ＜ 1 - x ＜ 1$，所以利用均值不等式可得 $\frac{x+(1 - x)}{2}\geqslant\sqrt{x(1 - x)}$，整理得 $x(1 - x)\leqslant\frac{1}{4}$，当且仅当 $x = 1 - x$，即 $x=\frac{1}{2}$ 时，等号成立。

13. [2024成都石室中学高一期中]某中学“跳蚤市场”活动即将开启，学生们在该活动中的商品所卖款项将用来支持慈善事业.为了在这次活动中最大限度地筹集资金，某班进行了前期调查.若商品进货价每件10元，当售卖价格$x\in(10,25]$ (单位：元/件)时，本次活动售出的件数$P=\frac{10^{4}}{(x - 5)^{2}}$，若想在本次活动中筹集的资金最多，则售卖价格每件应定为_______元.

答案： 15：由题意可知，利润 $y=\frac{10^{4}(x - 10)}{(x - 5)^{2}}$，$10 ＜ x\leqslant25$，不妨令 $t = x - 10\in(0,15]$，则利润 $y=\frac{10^{4}t}{(t + 5)^{2}}=\frac{10^{4}}{t+\frac{25}{t}+10}\leqslant\frac{10^{4}}{2\sqrt{t\cdot\frac{25}{t}}+10}=500$，当且仅当 $t=\frac{25}{t}$，即 $t = 5$，$x = 15$ 时取等号，故售卖价格每件应定为 15 元。

14. [2024南充高中高一开学考试]设正实数$x,y,z$满足$2x^{2}-xy + 2y^{2}-z = 0$，则$\frac{z}{xy}$的最小值是__________；当$\frac{z}{xy}$取得最小值时，$\frac{3}{z}-\frac{2}{x}-\frac{2}{y}$的最小值为_______.(本题第一空2分，第二空3分)

答案： 3 - 4：因为 $2x^{2}-xy + 2y^{2}-z = 0$，所以 $z = 2x^{2}-xy + 2y^{2}$。因为 $x,y,z$ 均为正实数，所以 $\frac{z}{xy}=\frac{2x^{2}-xy + 2y^{2}}{xy}=\frac{2x}{y}+\frac{2y}{x}-1\geqslant2\sqrt{\frac{2x}{y}\times\frac{2y}{x}}-1 = 3$，当且仅当 $y = x$ 时，等号成立，所以 $\frac{z}{xy}$ 的最小值为 3，此时 $z = 3xy = 3x^{2}$，则 $\frac{3}{z}-\frac{2}{x}-\frac{2}{y}=\frac{1}{x^{2}}-\frac{2}{x}-\frac{2}{x}=\frac{1}{x^{2}}-\frac{4}{x}=(\frac{1}{x}-2)^{2}-4\geqslant - 4$，当且仅当 $x=\frac{1}{2}$ 时，等号成立，故 $\frac{3}{z}-\frac{2}{x}-\frac{2}{y}$ 的最小值为 - 4。

15. (13分)[2024郑州四中高一月考]已知正实数$a,b$.
(1)若$(a - 1)(b - 1)=1$，求$4a + 2b$的最小值及相应$a,b$的值；
(2)若$ab = a + b + 3$，求$ab$的最小值及相应$a,b$的值.

答案： 【解析】 （1）$4a + 2b = 4(a - 1)+2(b - 1)+6\geqslant2\sqrt{8(a - 1)(b - 1)}+6 = 6 + 4\sqrt{2}$，当且仅当 $4(a - 1)=2(b - 1)$ 时取等号，所以 $4a + 2b$ 的最小值为 $6 + 4\sqrt{2}$，此时 $a = 1+\frac{\sqrt{2}}{2}$，$b = 1+\sqrt{2}$。（6 分） （2）由 $ab = a + b + 3$，得 $ab - 3 = a + b\geqslant2\sqrt{ab}$，得 $(\sqrt{ab}+1)(\sqrt{ab}-3)\geqslant0$，解得 $\sqrt{ab}\geqslant3$，即 $ab\geqslant9$，当且仅当 $a = b$ 时取等号，所以 $ab$ 的最小值为 9，此时 $a = b = 3$。（13 分）