《2025年金考卷名师名题单元双测卷数学必修第一册人教版B》

18.(17分)已知集合$A$为非空数集，集合$S = \{x|x = a + b,a,b \in A\}$，$T = \{x|x = \vert a - b\vert,a,b \in A\}$.
(1)若集合$A = \{1,3\}$，直接写出集合$S$，$T$；
(2)若集合$A = \{x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\}$，$x_{1} ＜ x_{2} ＜ x_{3} ＜ x_{4}$，且$T = A$，求证：$x_{4} = 3x_{2}$.

答案： [解析]　
(1)由已知$A = \{1,3\}$，则$S = \{2,4,6\}$，　(3分) $T = \{0,2\}$。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(6分)
(2)因为集合$A = \{x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\}$，$x_{1} \lt x_{2} \lt x_{3} \lt x_{4}$，且$T = A$，所以$T$中也只包含四个元素，$\vert a - b\vert$可取$0$，$x_{2} - x_{1}$，$x_{3} - x_{2}$，$x_{4} - x_{1}$，$x_{3} - x_{1}$，$x_{4} - x_{2}$，$x_{4} - x_{3}$，　　　　　　　　　　　(8分) 因为$0 \lt x_{2} - x_{1} \lt x_{3} - x_{1} \lt x_{4} - x_{1}$， 所以$T = \{0,x_{2} - x_{1},x_{3} - x_{1},x_{4} - x_{1}\}$且$x_{1} = 0$，即$T = \{0,x_{2},x_{3},x_{4}\}$，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(12分) 又$0 \lt x_{3} - x_{2} \lt x_{4} - x_{2} \lt x_{4} - x_{1}$， 所以$x_{3} - x_{2} = x_{2}$，$x_{4} - x_{2} = x_{3}$，从而$x_{3} = 2x_{2}$，$x_{4} = x_{3} + x_{2} = 3x_{2}$，此时$x_{4} - x_{3} = x_{2}$满足题意，所以$x_{4} = 3x_{2}$。　　　　　　(17分)