《2025年金考卷名师名题单元双测卷数学必修第一册人教版B》

12. [2024华东师大二附中高一期中]设$a,b\in \mathbf{R}$，则“$a\geq1,b\geq1$”是“$a + b\geq2$”的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)

答案： 充分不必要：判断充分、必要条件，就看二者能否互推。先看充分性，当a≥1且b≥1时，由不等式的基本性质可得a + b≥2，故充分性成立；再看必要性，当a + b≥2时，取a = 3, b = 0，则a≥1, b≥1不成立，故必要性不成立。所以“a≥1, b≥1”是“a + b≥2”的充分不必要条件。

13. (开放创新) [2024景德镇一中高一期中改编]写出使命题“二次函数$y = x^{2}-3x + 9a$的图象恒在$x$轴上方”为真命题的实数$a$的一个值：_______.

答案： 1（答案不唯一，满足a ＞ $\frac{1}{4}$即可）：由题意，“二次函数y = x² - 3x + 9a的图象恒在x轴上方”为真命题，则Δ = (- 3)² - 4×9a ＜ 0，解得a ＞ $\frac{1}{4}$。故a的一个值可以为1。 #### 一题多解 多方法解题 y = x² - 3x + 9a = (x - $\frac{3}{2}$)² + 9a - $\frac{9}{4}$，由命题为真命题，可知9a - $\frac{9}{4}$ ＞ 0，解得a ＞ $\frac{1}{4}$。故a的一个值可以为1。

14. [2023石家庄二中高一期中]已知条件$p$：$\begin{cases}x - 3\leq2\\-2x + 1 ＜ 3\end{cases}$；条件$q$：$1 - m\leq x\leq1 + m(m\geq0)$；条件$r$：$1 - t ＜ x\leq1 + 2t$.若$p$是$r$的充要条件，则$t =$________.若$p$是$q$的必要不充分条件，则实数$m$的取值范围是________.(本题第一空2分，第二空3分)

答案： 2 | m | 0≤m ＜ 2：由条件p可得 - 1 ＜ x≤5，因为p是r的充要条件，所以$\begin{cases}1 - t = - 1 \\ 1 + 2t = 5\end{cases}$，解得t = 2。因为p是q的必要不充分条件，所以$\begin{cases}m≥0 \\ 1 - m ＞ - 1 \\ 1 + m≤5\end{cases}$，解得0≤m ＜ 2。

15. (13分) [2023石家庄一中高一期中]写出下列命题的否定，并判断它们的真假.
(1)有些实数是无限不循环小数；
(2)三个连续整数的乘积能被6整除；
(3)三角形不都是中心对称图形；
(4)至少有一个整数$n$，使得$n^{2}+1$是4的倍数.

答案： 【解析】
(1)否定：所有实数都不是无限不循环小数，假命题。（3分）
(2)否定：存在三个连续整数的乘积不能被6整除，假命题。（6分）
(3)否定：任意一个三角形都是中心对称图形，假命题。（10分）
(4)否定：对任意整数n, n² + 1都不是4的倍数，真命题。（13分）