《2025年金考卷名师名题单元双测卷数学必修第一册人教版B》

18. (17分) [2024无锡市大桥实验学校高一调研]已知命题“$\exists x\in \mathbf{R}$，方程$x^{2}+2x - m + 6 = 0$有实根”是真命题.
(1)求实数$m$的取值集合$A$；
(2)关于$x$的不等式组$\begin{cases}x - 2a + 1 ＞ 0\\x - 3a + 1 ＜ 0\end{cases}$的解集为$B$，若“$x\in B$”是“$x\in A$”的充分不必要条件且$B$不为空集，求$a$的取值范围.

答案： 【解析】
(1)因为命题“∃x∈R，方程x² + 2x - m + 6 = 0有实根”是真命题， 所以方程x² + 2x - m + 6 = 0有实根，则Δ = 2² - 4( - m + 6)≥0，解得m≥5， 所以实数m的取值集合A = {m|m≥5}。（7分）
(2)若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，则B是A的真子集， 当2a - 1≥3a - 1，即a≤0时，不等式组$\begin{cases}x - 2a + 1 ＞ 0 \\ x - 3a + 1 ＜ 0\end{cases}$无解， 所以B = ∅，不满足题意；（11分） 当2a - 1 ＜ 3a - 1，即a ＞ 0时，不等式组$\begin{cases}x - 2a + 1 ＞ 0 \\ x - 3a + 1 ＜ 0\end{cases}$的解集B = {x|2a - 1 ＜ x ＜ 3a - 1}， 由题意B = {x|2a - 1 ＜ x ＜ 3a - 1}是A = {m|m≥5}的真子集，所以2a - 1≥5，所以a≥3。（16分） 综上，满足题意的a的取值范围是{a|a≥3}。（17分）