《2025年金考卷名师名题单元双测卷数学必修第一册人教版B》

16.(15分)［2024合肥一中高一期末］已知函数$f(x)=x^{2}-4|x|-5$.
(1)在平面直角坐标系中，作出函数$f(x)$的图象；
(2)若方程$f(x)=m$有四个不相等的实数根，求实数$m$的取值范围.

答案：
【解析】
(1)$f(x)=\begin{cases}x^{2}-4x - 5,x\geq0\\x^{2}+4x - 5,x＜0\end{cases}$，(2 分) 作出函数 $f(x)$ 的图象如图所示： (6 分)
(2) 当 $x = 2$ 或 - 2 时，函数 $f(x)$ 取最小值，最小值为 - 9，且 $f(0)=-5$。(9 分) 由图象可知，方程 $f(x)=m$ 有四个不相等的实数根，即 $y = f(x)$ 的图象与直线 $y = m$ 有四个交点，所以 $-9＜m＜-5$。故 $m$ 的取值范围为 $(-9,-5)$。(15 分)

17.(15分)［2024巴蜀中学高一月考］已知函数$f(x)=x^{2}-(a + 1)x + a$.
(1)当$a = 2$时，求关于$x$的不等式$f(x)＞0$的解集；
(2)若$f(x)+2x\geq0$在区间$(1 , +\infty)$上恒成立，求实数$a$的取值范围.

答案： 【解析】
(1) 当 $a = 2$ 时，$f(x)=x^{2}-3x + 2$，(2 分) 由 $f(x)＞0$，得 $x^{2}-3x + 2＞0$，解得 $x＜1$ 或 $x＞2$。所以不等式 $f(x)＞0$ 的解集为 $(-\infty,1)\cup(2,+\infty)$。(7 分)
(2) 恒成立问题常常考虑分离参数，转化为函数的最值或范围问题，这样可以避免分类讨论。 由 $f(x)+2x\geq0$，即 $x^{2}+x-(x - 1)a\geq0$ 在 $(1,+\infty)$ 上恒成立，得 $a\leq\frac{x^{2}+x}{x - 1}$ 在 $(1,+\infty)$ 上恒成立，(9 分) 令 $t = x - 1(t＞0)$，则 $\frac{x^{2}+x}{x - 1}=\frac{(t + 1)^{2}+t + 1}{t}=t+\frac{2}{t}+3\geq2\sqrt{t\times\frac{2}{t}}+3=2\sqrt{2}+3$，当且仅当 $t=\sqrt{2}$，即 $x=\sqrt{2}+1$ 时取等号，所以 $a\leq2\sqrt{2}+3$。故实数 $a$ 的取值范围为 $(-\infty,2\sqrt{2}+3]$。(15 分)