《2025年金考卷名师名题单元双测卷数学必修第一册人教版B》

18. (17分)[2024包头一中期末]已知$x,y,z$均为正数,且$x^{2} + y^{2} + 9z^{2} = 12$,证明:
(1)$x + y + 3z\leq6$;
(2)若$y = 4z$,则$\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{z^{2}}\geq3$.

答案： 【解析】
(1) 因为$(x + y + 3z)^{2}=x^{2}+y^{2}+9z^{2}+2xy + 6xz + 6yz = 12 + 2(xy + 3xz + 3yz)\leq12 + 2(\frac{x^{2}+y^{2}}{2}+\frac{x^{2}+9z^{2}}{2}+\frac{y^{2}+9z^{2}}{2})$，当且仅当$x = y = 3z = 2$时取等号（多次使用均值不等式，等号要在同一处取得），所以$(x + y + 3z)^{2}\leq12 + 2(x^{2}+y^{2}+9z^{2}) = 36$。又因为$x,y,z$均为正数，所以$x + y + 3z\leq6$。
(2) 要求和的最小值，应凑“定积”，直接凑不易，可先通过题干条件消去所给等式中的$y$。把$y = 4z$代入$x^{2}+y^{2}+9z^{2}=12$，得$x^{2}+25z^{2}=12$，所以$\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{z^{2}}=\frac{1}{12}(\frac{12}{x^{2}}+\frac{12}{z^{2}})=\frac{1}{12}(\frac{x^{2}+25z^{2}}{x^{2}}+\frac{x^{2}+25z^{2}}{z^{2}})=\frac{1}{12}(26+\frac{25z^{2}}{x^{2}}+\frac{x^{2}}{z^{2}})\geq\frac{1}{12}(26 + 2\sqrt{\frac{25z^{2}}{x^{2}}\times\frac{x^{2}}{z^{2}}}) = 3$，当且仅当$x^{4}=25z^{4}$时取等号，此时$x^{2}=5z^{2}$，解得$x=\sqrt{5}z$，把$y = 4z$和$x=\sqrt{5}z$代入$x^{2}+y^{2}+9z^{2}=12$，得$z=\frac{\sqrt{10}}{5}$，所以当且仅当$x=\sqrt{2}$，$y=\frac{4\sqrt{10}}{5}$，$z=\frac{\sqrt{10}}{5}$时，取等号。

19. (17分)(探索创新)[2024襄阳四中高一月考]对在平面直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义:若$\frac{a}{b} ＞ \frac{c}{d}$,那么称点$(a,b)$是点$(c,d)$的“上位点”,同时点$(c,d)$是点$(a,b)$的“下位点”.
(1)试写出点$(3,5)$的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标;
(2)已知点$(a,b)$是点$(c,d)$的“上位点”,判断点$P(\frac{a + c}{2},\frac{b + d}{2})$是否是点$(a,b)$的“下位点”,并证明你的结论;
(3)设正整数$n$满足以下条件:对集合$\{t|0 ＜ t ＜ 2023,t\in\mathbf{Z}\}$内的任意元素$m$,总存在正整数$k$,使得点$(n,k)$既是点$(2023,m)$的“下位点”,又是点$(2024,m + 1)$的“上位点”,求满足要求的一个正整数$n$的值,并说明理由.

答案： 【解析】
(1) 根据题设中的定义可得点$(3,5)$的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标分别为$(3,4)$和$(3,7)$。
(2) 点$P(\frac{a + c}{2},\frac{b + d}{2})$是点$(a,b)$的“下位点”。 证明如下：因为点$(a,b)$是点$(c,d)$的“上位点”，所以$\frac{a}{b}＞\frac{c}{d}$。又$a,b,c,d$均大于$0$，所以$ad ＞ bc$，所以$ad - bc ＞ 0$，所以$\frac{a + c}{b + d}-\frac{a}{b}=\frac{b(a + c)-a(b + d)}{b(b + d)}=\frac{bc - ad}{b(b + d)}＜0$，即$\frac{a}{b}＞\frac{a + c}{b + d}$，所以点$P(\frac{a + c}{2},\frac{b + d}{2})$是点$(a,b)$的“下位点”。
(3) 若点$(a,b)$是点$(c,d)$的“上位点”，可证点$Q(a + c,b + d)$既是点$(c,d)$的“上位点”，又是点$(a,b)$的“下位点”。 证明如下：因为点$(a,b)$是点$(c,d)$的“上位点”，所以$\frac{a}{b}＞\frac{c}{d}$，因为$a,b,c,d$均大于$0$，所以$ad ＞ bc$，所以$ad - bc ＞ 0$，所以$\frac{a + c}{b + d}-\frac{c}{d}=\frac{d(a + c)-c(b + d)}{d(b + d)}=\frac{ad + cd - bc - cd}{d(b + d)}=\frac{ad - bc}{d(b + d)}＞0$，即$\frac{a + c}{b + d}＞\frac{c}{d}$，所以点$Q(a + c,b + d)$是点$(c,d)$的“上位点”。同理可得$\frac{a + c}{b + d}-\frac{a}{b}=\frac{b(a + c)-a(b + d)}{b(b + d)}=\frac{bc - ad}{b(b + d)}＜0$，即$\frac{a}{b}＞\frac{a + c}{b + d}$，所以点$Q(a + c,b + d)$是点$(a,b)$的“下位点”。所以点$Q(a + c,b + d)$既是点$(c,d)$的“上位点”，又是点$(a,b)$的“下位点”。 根据题意知，点$(n,k)$既是点$(2023,m)$的“下位点”，又是点$(2024,m + 1)$的“上位点”对$m\in\{t|0 ＜ t ＜ 2023,t\in Z\}$恒成立，根据上述结论可知，当$n = 2023+2024 = 4047$，$k = 2m + 1$时，满足条件，故$n = 4047$。