《2025年金考卷名师名题单元双测卷数学必修第一册人教版B》

1.［2024湖南省长沙市高一期末］函数$y = 2x - 1$的零点是( )
A. 0
B. $(0 , - 1)$
C. $\frac{1}{2}$
D. $(\frac{1}{2},0)$

答案： C 令 $y = 2x - 1 = 0$，得 $x=\frac{1}{2}$，即函数 $y = 2x - 1$ 的零点是 $\frac{1}{2}$，故选 C。

2.(教材变式)［2024长郡中学高一期末］下列函数图象与$x$轴均有交点，且已知其解析式，则不能用二分法求函数零点的是( )

答案： C 根据函数零点存在定理可知，函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的图象是一段连续不断的曲线，且满足 $f(a)\cdot f(b)＜0$，则函数 $f(x)$ 在区间 $(a,b)$ 上存在零点。根据二分法概念可知，C 选项中的图象在零点附近不满足 $f(a)\cdot f(b)＜0$，所以 C 选项不能用二分法求函数零点。故选 C。

3.［2024柳州铁一中高一期末］已知二次函数$y = x^{2} + mx + n$的零点为$- 1$和3，则$m + n =$( )
A. - 5
B. - 4
C. 4
D. 5

答案： A 由题意知二次函数 $y = x^{2}+mx + n$ 的零点为 - 1 和 3，所以 $y = x^{2}+mx + n=[x - (-1)](x - 3)=(x + 1)(x - 3)=x^{2}-2x - 3$，所以 $m=-2$，$n=-3$，$m + n=-5$。故选 A。

4.［2024马鞍山二中高一开学考试］若函数$y = f(x)$在闭区间$[a , b]$上的图象是一条连续的曲线，则“$f(a)\cdot f(b) ＜ 0$”是“函数$y = f(x)$在区间$(a , b)$内至少有一个零点”的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件

答案： A 函数 $y = f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上的图象是一条连续的曲线，由函数零点存在定理，得当 $f(a)\cdot f(b)＜0$ 时，函数 $y = f(x)$ 在区间 $(a,b)$ 内至少有一个零点，充分性成立；而函数 $y = f(x)$ 在区间 $(a,b)$ 内至少有一个零点时，$f(a)\cdot f(b)＜0$ 不一定成立，如函数 $y = x^{2}$，在区间 $( - 1,1)$ 内有零点 $x = 0$，但 $f(-1)\cdot f(1)＞0$，必要性不成立。则“$f(a)\cdot f(b)＜0$”是“函数 $y = f(x)$ 在区间 $(a,b)$ 内至少有一个零点”的充分不必要条件。故选 A。

5.［2023大连二十四中高一期末改编］已知函数$f(x) = x^{2} - 2x + a$，若函数$y = f(x)$在区间$[ - 3 , 0]$上存在零点，则实数$a$的取值范围为( )
A. $[ - 5 , 0]$
B. $[ - 15 , 0]$
C. $[ - 5 , 5]$
D. $[0 , 15]$

答案： B 因为 $f(x)=x^{2}-2x + a$ 的图象开口向上，对称轴为 $x = 1$，所以函数 $f(x)$ 在 $[ - 3,0]$ 上单调递减。因为函数 $y = f(x)$ 在区间 $[ - 3,0]$ 上存在零点，所以 $\begin{cases}f(-3)=15 + a\geq0\\f(0)=a\leq0\end{cases}$，解得 $-15\leq a\leq0$，所以实数 $a$ 的取值范围为 $[ - 15,0]$。故选 B。

6.［2024北大附中开学考试］已知函数$f(x)=\begin{cases}-x^{2}+2x + 1,x ＞ 0\\0,x = 0\\x^{2}+2x - 1,x ＜ 0\end{cases}$.若关于$x$的方程$f(x) - k = 0$有三个不同的实数解，则实数$k$的取值范围是( )
A. $[ - 2 , - 1]\cup[1 , 2]$
B. $( - 2 , - 1)\cup(1 , 2)$
C. $( - 2 , - 1]\cup\{0\}\cup[1 , 2)$
D. $( - 2 , - 1)\cup\{0\}\cup(1 , 2)$

答案：
D 作出函数 $f(x)$ 的图象如图： 关于 $x$ 的方程 $f(x)-k = 0$ 有三个不同的实数解，即函数 $f(x)$ 的图象与直线 $y = k$ 有三个不同的交点，结合图象可知 $k\in(-2,-1)\cup\{0\}\cup(1,2)$，故选 D。